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Cl.
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Chapitre 5 • Évolution temporelle - Postulats (3)
96
• Point de vue de Heisenberg
En développant la «mécanique des matrices », Heisenberg fait jouer un rôle central
aux opérateurs et reporte plus naturellement l'évolution temporelle sur ceux-ci, l'état
quantique restant constant :
{
1
def
t
AH(t) = V (t)A U(t)
(5.27)
Bien évidemment les deux points de vue sont totalement équivalents. Par exemple la
moyenne de l'observable est exprimée comme :
l{l(t) = < l/l(t) IAI l/J(t) > = < (5.28)
• Équation du mouvement de Heisenberg
L'avantage du point de vue de Heisenberg est de rendre la définition d'un opérateur
« dérivée par rapport au temps » plus naturelle, sans passer par l'examen des éléments
de matrice, puisque les vecteurs ne portent plus de dépendance temporelle. À partir de
la définition (5.27) nous obtenons g,AH(t) = [g, ut(t)]AU(t) + ut(t)A[g 1 U(t)] (pour
alléger la notation nous avons fait U(t, to) ~ U(t), ce qui suppose que 1
d
i
-AH(t) = -[HH(t), AH(t)]
dt
n
(5.29)
où HH(t) ~ u t (t)H(t)U(t). Si H ne dépend pas du temps HH(t) = H et l'équation
prend la forme grAH(t) = *[H, AH(t)], écriture plus naturelle que (5.24).
À retenir
Résoudre l'équation de Schrodinger (5. 1).
L'analyse du système à deux niveaux .
Le théorème d'Ehrenfest (5.25).
0
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Chapitre 5 • Évolution temporelle - Postulats (3)
96
• Point de vue de Heisenberg
En développant la «mécanique des matrices », Heisenberg fait jouer un rôle central
aux opérateurs et reporte plus naturellement l'évolution temporelle sur ceux-ci, l'état
quantique restant constant :
{
1
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AH(t) = V (t)A U(t)
(5.27)
Bien évidemment les deux points de vue sont totalement équivalents. Par exemple la
moyenne de l'observable est exprimée comme :
l{l(t) = < l/l(t) IAI l/J(t) > = < (5.28)
• Équation du mouvement de Heisenberg
L'avantage du point de vue de Heisenberg est de rendre la définition d'un opérateur
« dérivée par rapport au temps » plus naturelle, sans passer par l'examen des éléments
de matrice, puisque les vecteurs ne portent plus de dépendance temporelle. À partir de
la définition (5.27) nous obtenons g,AH(t) = [g, ut(t)]AU(t) + ut(t)A[g 1 U(t)] (pour
alléger la notation nous avons fait U(t, to) ~ U(t), ce qui suppose que 1
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-AH(t) = -[HH(t), AH(t)]
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où HH(t) ~ u t (t)H(t)U(t). Si H ne dépend pas du temps HH(t) = H et l'équation
prend la forme grAH(t) = *[H, AH(t)], écriture plus naturelle que (5.24).
À retenir
Résoudre l'équation de Schrodinger (5. 1).
L'analyse du système à deux niveaux .
Le théorème d'Ehrenfest (5.25).