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5.3. Point de vue de Heisenberg
Nous aboutissons donc à la relation J, (B)if!(t) = * ([H, B])if!(t) · Remarquons qu' on
obtient une relation analogue pour les éléments de matrice non diagonaux, i.e. B
entre deux états solutions de l'équation de Schrodinger :
d
i
dt ( lf!(t) IBlx(t)) = ti< lf!(t) l[H, B]lx(t) ).
(5.23)
Cette relation nous permet de répondre à la question posée ci-dessus en définissant
0
l' opérateur« dérivée de B par rapport au temps», que nous notons B (cette notation
est introduite par analogie avec la notation B qui dénote conventionnellement Jt B;
on évite B afin de ne pas confondre la notation et l'opération). Puisque nous devons
identifier Jt (B)if!(t) = (B)if!(t)• nous écrivons :
0
1
B = h[H, B].
(5.24)
Dans l'exercice 5.4 on considère le cas où B --7 r pour lequel B --7 jt = û.
Dans le cas général où l'opérateur possède une dépendance temporelle explicite
B --7 B(t) (cf. problème 6.1 pour un exemple), la dérivation de la moyenne fait également apparaître un troisième terme obtenu par dérivation de 1 ' opérateur, ce qui
conduirait à la définition B(t) = MH, B(t)] + a~~t). La dérivée de la moyenne de
l'opérateur est donnée par (théorème d'Ehrenfest) :
o
d
i
( 8B(t))
(B(t))if!(t) = dt (B(t))if!(t) = fi ( [H, B(t)])if!(t) + Bt
if!(t)
(5.25)
5.3 POINT DE VUE DE HEISENBERG
Nous donnons un autre éclairage à la discussion précédente, et en particulier à la
relation (5.24).
• Point de vue de Schrbdinger
Dans la formulation développée par Schrodinger, l'information sur la dynamique du
système est contenue dans la fonction d'onde, i.e. le vecteur d'état l 'l'(t) ), solution
de 1' équation de Schrodinger (5.1). L'évolution temporelle des valeurs moyennes
d'observables (A )if!(t) (position, impulsion, etc) est entièrement portée par le vecteur
d'état:
{
11/f(t)) = U(t)I cp)
Point de vue de Schrodinger : A
(5.26)
où nous avons introduit U(t) l'opérateur d'évolution temporelle et avons noté le vecteur à l'instant t = 0 : 11/f(t = 0)) = 1 c1' ).
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