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Chapitre 5 • Évolution temporelle - Postulats (3)
94
Nous pouvons également exprimer le vecteur dans la base initiale :
11/J(t) ) = e-*Eot{[ cos(t!J./n) - i cosBsin(t!J./n)] lu 1 ) - iei"° sin(B) sin(t!J./'fi) 1 u2 >}.
(5.19)
La probabilité de transition de l'état 1 u1) vers l'état 1 u2) après un temps test donc
Proba[I u1 ) ~ 1 u2)] = 1( u2 l lf!(t) )1 2 = sin 2 e sin 2 (t!J./'fi).
(5.20)
La probabilité de transition oscille au cours du temps avec une période nn/ !J. = h/IE+ -
E_I. Sa valeur maximale, sin 2 e, est d'autant plus importante que le couplage est fort
(figure 5.1).
c) Limite de couplage fort
Lorsque H11 = H22 (et donc !J. = IH12I et e = n/2) l'état quantique oscille périodiquement entre l'état 1 u 1 ) et l'état 1 u2):
(5.21)
La probabilité de transition d'un état vers l' autre est maximale, l(u 2 1lf!(t))l
2 =
sin 2 (t!J./n). Elle oscille avec une pulsation proportionnelle à la force du couplage
2/J./n = 2IH12l/'!i.
5.2 THÉORÈME o'EHRENFEST
Les observables physiques (position, impulsion, énergie, etc.) sont représentées par
des opérateurs linéaires agissant dans l'espace de Hilbert J"e. La dualité ondecorpuscule dans le cadre schrodingerien nous a permis de construire les opérateurs de
position et d' impulsion. Concernant des quantités physiques plus complexes, comme
l'énergie, nous avons invoqué le principe de correspondance.
Une autre approche pour définir certains opérateurs peut être de répondre à laquestion de savoir comment construire l'opérateur «dérivée par rapport au temps » d'un
autre opérateur. Par exemple, ayant défini l'opérateur position r (par son action sur
les fonctions d'onde) dans l'espace de Hilbert, quel est l'opérateur représentant la
vitesse?
À cette fin commençons par nous intéresser à l'évolution temporelle de la moyenne
d' une observable B. Le système est dans un état 11/J(t) ) solution de (5.1 ). Calculons
la dérivée de (B)l/J(t) :
~( l/l(t) IBI l/l(t)) = d( lf!(t) I BI lf!(t) )+( l/l(t) IB dl lf!(t)) = ~( l/l(t) l[H, B]l lf!(t) ) . (5.22)
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Nous pouvons également exprimer le vecteur dans la base initiale :
11/J(t) ) = e-*Eot{[ cos(t!J./n) - i cosBsin(t!J./n)] lu 1 ) - iei"° sin(B) sin(t!J./'fi) 1 u2 >}.
(5.19)
La probabilité de transition de l'état 1 u1) vers l'état 1 u2) après un temps test donc
Proba[I u1 ) ~ 1 u2)] = 1( u2 l lf!(t) )1 2 = sin 2 e sin 2 (t!J./'fi).
(5.20)
La probabilité de transition oscille au cours du temps avec une période nn/ !J. = h/IE+ -
E_I. Sa valeur maximale, sin 2 e, est d'autant plus importante que le couplage est fort
(figure 5.1).
c) Limite de couplage fort
Lorsque H11 = H22 (et donc !J. = IH12I et e = n/2) l'état quantique oscille périodiquement entre l'état 1 u 1 ) et l'état 1 u2):
(5.21)
La probabilité de transition d'un état vers l' autre est maximale, l(u 2 1lf!(t))l
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sin 2 (t!J./n). Elle oscille avec une pulsation proportionnelle à la force du couplage
2/J./n = 2IH12l/'!i.
5.2 THÉORÈME o'EHRENFEST
Les observables physiques (position, impulsion, énergie, etc.) sont représentées par
des opérateurs linéaires agissant dans l'espace de Hilbert J"e. La dualité ondecorpuscule dans le cadre schrodingerien nous a permis de construire les opérateurs de
position et d' impulsion. Concernant des quantités physiques plus complexes, comme
l'énergie, nous avons invoqué le principe de correspondance.
Une autre approche pour définir certains opérateurs peut être de répondre à laquestion de savoir comment construire l'opérateur «dérivée par rapport au temps » d'un
autre opérateur. Par exemple, ayant défini l'opérateur position r (par son action sur
les fonctions d'onde) dans l'espace de Hilbert, quel est l'opérateur représentant la
vitesse?
À cette fin commençons par nous intéresser à l'évolution temporelle de la moyenne
d' une observable B. Le système est dans un état 11/J(t) ) solution de (5.1 ). Calculons
la dérivée de (B)l/J(t) :
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