Exercices
97
Après simplification, on obtient :
Si
l’expression est plus simple et on a immédiatement :
d’où :
Exercice 2
On a pour chaque condensateur réel :
avec
.
Reportons
dans l’expression précédente :
On cherche à exprimer u 1 en fonction de i et de u, puis on injecte cette expression dans la caractéristique du premier
condensateur.
On pourrait aussi chercher à exprimer u 2 en fonction de i et de u, puis injecter cette expression dans la caractéristique
du deuxième condensateur. Les calculs aboutiraient à la même équation différentielle.
Reportons
dans l’expression précédente :
• Si
, l’expression obtenue est :
• Si
, on extrait
d’où :
L 1 L 2
+
(
)
du
dt
------- - R 1 R 2
+
(
)u
+
L 1 L 2
d 2 i
dt 2
-------- - R 1 L 2 R 2 L 1
+
(
)
di
dt
------ R 1 R 2 i.
+
+
=
L 2
L 1
---- -
R 2
R 1
-----,
=
u
L 2
di
dt
---- - R 2 i
L 2
L 1
---- -u,
–
+
=
u 1
L 2
L 1
---- -
+
L 2
di
dt
---- - R 2 i.
+
=
i 1
C 1
du 1
dt
--------- -
=
i
R 1
C 1
i
R 2
C 2
i 2
C 2
du 2
dt
--------- -
=
i ′
2
u 2
R 2
-----=
u 1
u 2
i ′
1
u 1
R 1
-----=
i
u
i
C 1
du 1
dt
--------- -
u 1
R 1
-----+
C 2
du 2
dt
--------- -
u 2
R 2
------ ,
+
=
=
u
u 1 u 2
+
=
u 2
u u 1
–
=
i
C 2
du
dt
------ -
u 2
R 2
------ C 2
du 1
dt
--------- -
–
u 1
R 2
------ .
–
+
=
du 1
dt
--------- -
i
C 1
------ -
u 1
R 1 C 1
------------- -
–
=
i
C 2
du
dt
------ -
u
R 2
-----C 2
C 1
------ - i
–
C 2
R 1 C 1
------------- - u 1
u 1
R 2
------ .
–
+
+
=
R 1 C 1
R 2 C 2
=
i 1
C 2
C 1
------ -
+
C 2
du
dt
------- -
u
R 2
------ -.
+
=
R 1 C 1 R 2 C 2
≠
u 1
i 1
C 2
C 1
------ -
+
C 2
du
dt
------ -
–
u
R 2
-----–
C 2
R 1 C 1
------------- -
1
R 2
-----–
-------------------------------------------------------------,
=
i
C 1
C 2
R 1 C 1
------------- -
1
R 2
-----–
--------------------------- 1
C 2
C 1
------ -
+
di
dt
----- - C 2
d 2 u
dt 2
--------- -
–
1
R 2
-----du
dt
------ -
–
1
C 2
C 1
------ -
R 1
R 2
-----–
-------------------- 1
C 2
C 1
------ -
+
i C 2
du
dt
------ -
–
u
R 2
-----–
.
+
=
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97
Après simplification, on obtient :
Si
l’expression est plus simple et on a immédiatement :
d’où :
Exercice 2
On a pour chaque condensateur réel :
avec
.
Reportons
dans l’expression précédente :
On cherche à exprimer u 1 en fonction de i et de u, puis on injecte cette expression dans la caractéristique du premier
condensateur.
On pourrait aussi chercher à exprimer u 2 en fonction de i et de u, puis injecter cette expression dans la caractéristique
du deuxième condensateur. Les calculs aboutiraient à la même équation différentielle.
Reportons
dans l’expression précédente :
• Si
, l’expression obtenue est :
• Si
, on extrait
d’où :
L 1 L 2
+
(
)
du
dt
------- - R 1 R 2
+
(
)u
+
L 1 L 2
d 2 i
dt 2
-------- - R 1 L 2 R 2 L 1
+
(
)
di
dt
------ R 1 R 2 i.
+
+
=
L 2
L 1
---- -
R 2
R 1
-----,
=
u
L 2
di
dt
---- - R 2 i
L 2
L 1
---- -u,
–
+
=
u 1
L 2
L 1
---- -
+
L 2
di
dt
---- - R 2 i.
+
=
i 1
C 1
du 1
dt
--------- -
=
i
R 1
C 1
i
R 2
C 2
i 2
C 2
du 2
dt
--------- -
=
i ′
2
u 2
R 2
-----=
u 1
u 2
i ′
1
u 1
R 1
-----=
i
u
i
C 1
du 1
dt
--------- -
u 1
R 1
-----+
C 2
du 2
dt
--------- -
u 2
R 2
------ ,
+
=
=
u
u 1 u 2
+
=
u 2
u u 1
–
=
i
C 2
du
dt
------ -
u 2
R 2
------ C 2
du 1
dt
--------- -
–
u 1
R 2
------ .
–
+
=
du 1
dt
--------- -
i
C 1
------ -
u 1
R 1 C 1
------------- -
–
=
i
C 2
du
dt
------ -
u
R 2
-----C 2
C 1
------ - i
–
C 2
R 1 C 1
------------- - u 1
u 1
R 2
------ .
–
+
+
=
R 1 C 1
R 2 C 2
=
i 1
C 2
C 1
------ -
+
C 2
du
dt
------- -
u
R 2
------ -.
+
=
R 1 C 1 R 2 C 2
≠
u 1
i 1
C 2
C 1
------ -
+
C 2
du
dt
------ -
–
u
R 2
-----–
C 2
R 1 C 1
------------- -
1
R 2
-----–
-------------------------------------------------------------,
=
i
C 1
C 2
R 1 C 1
------------- -
1
R 2
-----–
--------------------------- 1
C 2
C 1
------ -
+
di
dt
----- - C 2
d 2 u
dt 2
--------- -
–
1
R 2
-----du
dt
------ -
–
1
C 2
C 1
------ -
R 1
R 2
-----–
-------------------- 1
C 2
C 1
------ -
+
i C 2
du
dt
------ -
–
u
R 2
-----–
.
+
=
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