Chapitre 3 : Condensateurs et bobines – Dipôles linéaires
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Après simplification, nous obtenons :
Il ne faut pas oublier de traiter les deux cas possibles.
Exercice 3
a) Notons v 1 la tension aux bornes du premier condensateur et i l’intensité du courant le parcourant
en convention récepteur.
• En appliquant la loi des nœuds en N, nous avons :
(1)
• En appliquant la loi des mailles, nous avons aussi :
soit :
(2)
Dérivons cette expression par rapport au temps :
On ne dispose pas d’une relation exprimant directement v 1 en fonction de u et de v. En revanche, l’égalité (1) fait intervenir la dérivée de v 1 . Pour pouvoir l’exploiter, on dérive donc l’égalité (2).
• Reportons l’égalité (1) dans l’expression précédente :
Nous obtenons bien une équation différentielle linéaire.
b) • La tension aux bornes d’un condensateur est toujours continue. On a donc :
et
Les deux condensateurs sont déchargés, donc la tension à leurs bornes est nulle.
• Comme
nous obtenons grâce à l’équation (2) :
soit :
C 1 C 2
d 2 u
dt 2
---------C 1
R 2
------ -
C 2
R 1
------ -
+



 du
dt
------- -
u
R 1 R 2
------------- -
+
+
C 1 C 2
+
(
)
di
dt
------ i
1
R 1
------ -
1
R 2
------ -
+



 .
+
=
i
R
u
v 1
C
R
C v
N
i
C
dv 1
dt
--------v
R
--- - C
dv
dt
------ -
+
=
=
u
Ri v 1 v
+ +
R
v
R
--- - C
dv
dt
------ -
+



 v 1 v,
+ +
=
=
u
RC
dv
dt
------ - 2v v 1
+
+
=
du
dt
------ -
RC
d 2 v
dt 2
--------- - 2
dv
dt
------ -
dv 1
dt
--------- .
+
+
=
du
dt
------ -
RC
d 2 v
dt 2
--------- - 3
dv
dt
------ -
v
RC
-------- - .
+
+
=
v 1 0 +
( )
v 1 0 –
( )
0
=
=
v 0 +
( )
v 0 –
( )
0.
=
=
u 0 +
( )
E,
=
dv
dt
------ - 0 +
( )
u 0 +
( )
RC
-------------- 2v 0 +
( )
–
v 1 0 +
( ),
–
=
dv
dt
------- 0 +
( )
E
RC
-------- - .
=
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