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Chapitre 3 : Condensateurs et bobines – Dipôles linéaires
C. Les dipôles linéaires
C.1. Définition et exemples
L’étude des dipôles linéaires s’effectue dans le cadre de l’approximation des
régimes quasi-stationnaires (ou quasi-permanents). On considère donc que la
tension
aux bornes d’un dipôle et l’intensité
du courant le traversant
varient lentement au cours du temps.
• Les conducteurs ohmiques, les générateurs, les récepteurs… dont la caractéristique
peut être localement modélisée par une droite sont des
dipôles linéaires vérifiant une équation différentielle linéaire d’ordre 0
1 (relation affine entre u et i).
• Les condensateurs (parfaits ou réels) sont des dipôles linéaires vérifiant une
équation différentielle linéaire d’ordre 1 en
• Les bobines (parfaites ou réelles) sont des dipôles linéaires vérifiant une
équation différentielle linéaire d’ordre 1 en
C.2. Associations de dipôles linéaires
C.2.1 - Exemple : association d’un condensateur parfait
et d’une bobine réelle
On étudie en convention récepteur l’association d’un condensateur parfait C
et d’une bobine réelle (L, r)
2 .
• Association en série (fig. 11)
D’après la loi d’addition des tensions, la tension totale u s’écrit :
.
En dérivant une fois cette expression, on obtient :
d’où :
L’association est donc équivalente à un dipôle linéaire vérifiant une équation
différentielle d’ordre 2 en
et d’ordre 1 en
Définition 5
Un dipôle est linéaire lorsque la tension
à ses bornes et l’intensité
du courant le traversant vérifient une équation différentielle linéaire (à
coefficients constants).
u t
( )
i t
( )
u t
( )
i t
( )
u
f i
( )
=
1. L’ordre d’une équation
différentielle est celui de la
dérivée la plus élevée intervenant
dans l’équation.
u t
( ).
i t
( ).
2. En pratique, les condensateurs
utilisés peuvent très souvent être
considérés comme parfaits, alors
que les bobines sont des bobines
réelles.
Fig. 11 - Association en série d’une bobine réelle (L, r )
et d’un condensateur parfait C.
L
r
i
C
du 2
dt
--------- -
=
u 2
u 1
L
di
dt
----- - ri
+
=
u
C
u
u 1 u 2
+
L
di
dt
----- - r i
+
u 2
+
=
=
du
dt
------ -
L
d 2 i
dt 2
-------- r
di
dt
----- -
du 2
dt
--------- -,
+
+
=
du
dt
------ -
L
d 2 i
dt 2
-------- r
di
dt
----- -
i
C
---- .
+
+
=
i t
( )
u t
( ).
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Chapitre 3 : Condensateurs et bobines – Dipôles linéaires
C. Les dipôles linéaires
C.1. Définition et exemples
L’étude des dipôles linéaires s’effectue dans le cadre de l’approximation des
régimes quasi-stationnaires (ou quasi-permanents). On considère donc que la
tension
aux bornes d’un dipôle et l’intensité
du courant le traversant
varient lentement au cours du temps.
• Les conducteurs ohmiques, les générateurs, les récepteurs… dont la caractéristique
peut être localement modélisée par une droite sont des
dipôles linéaires vérifiant une équation différentielle linéaire d’ordre 0
1 (relation affine entre u et i).
• Les condensateurs (parfaits ou réels) sont des dipôles linéaires vérifiant une
équation différentielle linéaire d’ordre 1 en
• Les bobines (parfaites ou réelles) sont des dipôles linéaires vérifiant une
équation différentielle linéaire d’ordre 1 en
C.2. Associations de dipôles linéaires
C.2.1 - Exemple : association d’un condensateur parfait
et d’une bobine réelle
On étudie en convention récepteur l’association d’un condensateur parfait C
et d’une bobine réelle (L, r)
2 .
• Association en série (fig. 11)
D’après la loi d’addition des tensions, la tension totale u s’écrit :
.
En dérivant une fois cette expression, on obtient :
d’où :
L’association est donc équivalente à un dipôle linéaire vérifiant une équation
différentielle d’ordre 2 en
et d’ordre 1 en
Définition 5
Un dipôle est linéaire lorsque la tension
à ses bornes et l’intensité
du courant le traversant vérifient une équation différentielle linéaire (à
coefficients constants).
u t
( )
i t
( )
u t
( )
i t
( )
u
f i
( )
=
1. L’ordre d’une équation
différentielle est celui de la
dérivée la plus élevée intervenant
dans l’équation.
u t
( ).
i t
( ).
2. En pratique, les condensateurs
utilisés peuvent très souvent être
considérés comme parfaits, alors
que les bobines sont des bobines
réelles.
Fig. 11 - Association en série d’une bobine réelle (L, r )
et d’un condensateur parfait C.
L
r
i
C
du 2
dt
--------- -
=
u 2
u 1
L
di
dt
----- - ri
+
=
u
C
u
u 1 u 2
+
L
di
dt
----- - r i
+
u 2
+
=
=
du
dt
------ -
L
d 2 i
dt 2
-------- r
di
dt
----- -
du 2
dt
--------- -,
+
+
=
du
dt
------ -
L
d 2 i
dt 2
-------- r
di
dt
----- -
i
C
---- .
+
+
=
i t
( )
u t
( ).
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