81
Cours
A.2. Énergie d’un condensateur parfait
L’énergie E élec emmagasinée par un condensateur est donc d’autant plus
grande que sa capacité C est grande.
Démonstration
La puissance électrique P r reçue par le condensateur à l’instant t vaut :
P r = ui avec
d’où :
L’énergie dE élec reçue par le condensateur pendant la durée infinitésimale dt
vaut donc
2 :
d’où :
L’énergie totale E élec reçue par le condensateur est la somme des énergies élémentaires reçues lorsque la tension passe de 0 à u. D’où :
Tension aux bornes d’un condensateur
Un générateur de courant idéal débite un courant constant d’intensité
I = 1,0 µA dans un condensateur de capacité C = 100 nF. Initialement, la tension u aux bornes du condensateur est nulle. Comment u varie-t-elle au cours
du temps ?
Solution
En convention récepteur, on a :
soit :
On intègre cette équation par rapport au temps :
avec u(t = 0) = 0.
On déduit des conditions initiales à t = 0 :
cte = 0, d’où :
soit :
La tension u varie linéairement avec le temps.
Définition 2
L’énergie électrostatique E élec emmagasinée dans un condensateur soumis à la tension u est égale à l’énergie électrique reçue par le condensateur initialement déchargé lorsque la tension à ses bornes passe de 0
à u. Elle a pour expression
1 :
Application 1
I = 1,0 µ A
u
C
i
I
C
du
dt
------ -,
= =
du
I
C
---- dt.
=
u t
( )
I
C
---- t cte,
+
=
u t
( )
I
C
---- t,
=
u t
( )
1,0 10 6
–
⋅
100 10 9
–
⋅
-------------------------- t
10t.
=
=
1. D’après la relation chargetension q = Cu, on a aussi :
E élec
q 2
2C
----- -
1
2
-- qu.
=
=
E élec énergie en joule (J)
C capacité en farad (F)
u tension en volt (V)
E élec
1
2
-- -Cu 2
=
i
C
du
dt
------ -,
=
P r
Cu
du
dt
------ - .
=
2. Si la puissance P reçue par un
système est constante, son
énergie E varie de la quantité
∆E = P∆t pendant l’intervalle de
temps ∆t, d’où :
En revanche, si P n’est pas
constante, on peut seulement
écrire que E varie de la quantité
dE = Pdt pendant l’intervalle de
temps infinitésimal dt, d’où :
P
∆E
∆t
------ -.
=
P
dE
dt
------ .
=
P r
dE élec
dt
---------------,
=
dE élec
P r dt
Cu du.
=
=
E élec
dE élec
0
u
∫
Cu du
0
u
∫
1
2
-- -Cu 2 .
=
=
=
KA_MPSI.book Page 81 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23
Cours
A.2. Énergie d’un condensateur parfait
L’énergie E élec emmagasinée par un condensateur est donc d’autant plus
grande que sa capacité C est grande.
Démonstration
La puissance électrique P r reçue par le condensateur à l’instant t vaut :
P r = ui avec
d’où :
L’énergie dE élec reçue par le condensateur pendant la durée infinitésimale dt
vaut donc
2 :
d’où :
L’énergie totale E élec reçue par le condensateur est la somme des énergies élémentaires reçues lorsque la tension passe de 0 à u. D’où :
Tension aux bornes d’un condensateur
Un générateur de courant idéal débite un courant constant d’intensité
I = 1,0 µA dans un condensateur de capacité C = 100 nF. Initialement, la tension u aux bornes du condensateur est nulle. Comment u varie-t-elle au cours
du temps ?
Solution
En convention récepteur, on a :
soit :
On intègre cette équation par rapport au temps :
avec u(t = 0) = 0.
On déduit des conditions initiales à t = 0 :
cte = 0, d’où :
soit :
La tension u varie linéairement avec le temps.
Définition 2
L’énergie électrostatique E élec emmagasinée dans un condensateur soumis à la tension u est égale à l’énergie électrique reçue par le condensateur initialement déchargé lorsque la tension à ses bornes passe de 0
à u. Elle a pour expression
1 :
Application 1
I = 1,0 µ A
u
C
i
I
C
du
dt
------ -,
= =
du
I
C
---- dt.
=
u t
( )
I
C
---- t cte,
+
=
u t
( )
I
C
---- t,
=
u t
( )
1,0 10 6
–
⋅
100 10 9
–
⋅
-------------------------- t
10t.
=
=
1. D’après la relation chargetension q = Cu, on a aussi :
E élec
q 2
2C
----- -
1
2
-- qu.
=
=
E élec énergie en joule (J)
C capacité en farad (F)
u tension en volt (V)
E élec
1
2
-- -Cu 2
=
i
C
du
dt
------ -,
=
P r
Cu
du
dt
------ - .
=
2. Si la puissance P reçue par un
système est constante, son
énergie E varie de la quantité
∆E = P∆t pendant l’intervalle de
temps ∆t, d’où :
En revanche, si P n’est pas
constante, on peut seulement
écrire que E varie de la quantité
dE = Pdt pendant l’intervalle de
temps infinitésimal dt, d’où :
P
∆E
∆t
------ -.
=
P
dE
dt
------ .
=
P r
dE élec
dt
---------------,
=
dE élec
P r dt
Cu du.
=
=
E élec
dE élec
0
u
∫
Cu du
0
u
∫
1
2
-- -Cu 2 .
=
=
=
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