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Chapitre 2 : Modélisations linéaires d’un dipôle
B.4. Loi des nœuds exprimée en termes de potentiels
On considère n conducteurs ohmiques reliés en un même nœud N d’un circuit électrique (fig. 7). La loi d’Ohm appliquée à chaque conducteur ohmique s’écrit 1 :
Or , d’après la loi des nœuds en N :
d’où :
Exprimé en termes de conductances, le théorème de Millman s’écrit :
Théorème 1
Théorème de Millman
La loi des nœuds exprimée en tension s’écrit :
Calcul du courant dans une résistance
Déterminer grâce au théorème de Millman l’intensité i du courant traversant le conducteur ohmique de résistance r .
Solution
Sur le schéma, la masse impose l’origine des potentiels. Le
potentiel V N représente la tension
aux bornes de la résistance r . On a en outre :
et
D’où, d’après le théorème de Millman :
soit :
Finalement, on obtient :
soit :
Fig. 7 - Les n conducteurs ohmiques sont reliés au nœud N.
A 1
R 1
R n
N
A n
i 1
i n
A 2
i 2
R 2
R k
i k
A k
1. La tension
est
la tension aux bornes du
conducteur ohmique R k étudié
en convention récepteur.
u k V A k V N
–
=
i k
G k u k
G k V A k V N
–
(
)
V A k V N
–
R k
----------------------- .
=
=
=
i 1 i 2 i 3 …
+ + +
0,
=
V A k V N
–
R k
---------------------- -
k
∑
0.
=
V N
1
R 1
------ -
1
R 2
------ -
1
R 3
------ - º
+
+
+




V A 1
R 1
--------V A 2
R 2
--------V A 3
R 3
--------- …
+
+
+
=
V N G 1 G 2 G 3 º
+
+
+
(
)
G 1 V A 1 G 2 V A 2 G 3 V A 3
º
+
+
+
=
N
R 1
R 2
r
A 1
A 2
u 1
u 2
i
u
Application 2
u
V N 0
–
r i
=
=
V A 1
u 1
=
V A 2 u 2
= .
V N
1
r
-- -
1
R 1
-----1
R 2
-----+
+



 u 1
R 1
-----u 2
R 2
------ ,
+
=
i 1
r
R 1
-----r
R 2
-----+
+



 u 1
R 1
-----u 2
R 2
------ .
+
=
i
u 1
R 1
-----u 2
R 2
-----+
1
r
R 1
-----r
R 2
-----+
+
----------------------------- - ,
=
i
R 2 u 1 R 1 u 2
+
R 1 R 2 r R 1 R 2
+
(
)
+
------------------------------------------------ - .
=
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