Méthodes
267
La fonction de transfert s’écrit alors :
.
On factorise
au dénominateur. La fonction de transfert devient :
.
On pose :
et
, d’où :
.
Le gain en décibel G est défini par :
La phase φ est définie par :
Aux basses fréquences
, le gain G tend vers :
(L’asymptote correspondante est une droite horizontale).
Aux hautes fréquences
le gain G tend vers :
(L’asymptote correspondante est une droite de pente –20 dB/décade).
Attention à ne pas confondre un équivalent du gain (obtenu en ne conservant que le terme prépondérant) et la limite
de l’expression (ici, –∞ pour les hautes fréquences). La limite, à elle seule, ne permet pas de tracer le diagramme.
Comme la fonction
est strictement croissante, le gain G décroît quand x varie de
0 à +∞. Le gain G n’a pas d’extremum.
Le tracé est simplifié en cherchant l’intersection des asymptotes :
d’où :
et x = 1.
Pour un filtre passe-bas ou passe-haut, l’intersection des asymptotes aux basses fréquences et aux hautes
fréquences de la courbe du gain dans le diagramme de Bode correspond à l’abscisse de coupure.
H jω
( )
V s
V e
----- -
1
1 R 1
1
R 2
------ jCω
+
+
---------------------------------------------- -
1
1
R 1
R 2
-----+
jR 1 Cω
+
---------------------------------------------- -
=
=
=
1
R 1
R 2
-----+
H jω
( )
1
1
R 1
R 2
-----+
---------------1
1 j
R 1 R 2 C
R 1 R 2
+
------------------- -ω
+
----------------------------------- -
×
=
ω réf
R 1 R 2
+
R 1 R 2 C
------------------- -
=
x
ω
ω réf
-------- -
=
H jx
( )
1
1
R 1
R 2
------ -
+
---------------1
1 jx
+
-------------- -
×
=
G x
( )
20
H jx
( )
(
)
log
20
1
R 1
R 2
------ -
+
log
–
10
1 x 2
+
(
).
log
–
=
=
f x
( )
H jx
( )
(
)
arg
–
Arctan
–
x.
=
=
x → 0
(
)
G x
( ) 20
R 2
R 1 R 2
+
------------------- -
.
log
→
x → + ∞
(
) ,
G x
( ) 20
R 2
R 1 R 2
+
------------------- -
20
x
( ) .
log
–
log
→
f x
( )
1 x 2
+
=
20
R 2
R 1 R 2
+
------------------- -
log
20
R 2
R 1 R 2
+
------------------- -
log
20
x
( ),
log
–
=
basses fréquences
hautes fréquences
x
( )
log
0
=
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267
La fonction de transfert s’écrit alors :
.
On factorise
au dénominateur. La fonction de transfert devient :
.
On pose :
et
, d’où :
.
Le gain en décibel G est défini par :
La phase φ est définie par :
Aux basses fréquences
, le gain G tend vers :
(L’asymptote correspondante est une droite horizontale).
Aux hautes fréquences
le gain G tend vers :
(L’asymptote correspondante est une droite de pente –20 dB/décade).
Attention à ne pas confondre un équivalent du gain (obtenu en ne conservant que le terme prépondérant) et la limite
de l’expression (ici, –∞ pour les hautes fréquences). La limite, à elle seule, ne permet pas de tracer le diagramme.
Comme la fonction
est strictement croissante, le gain G décroît quand x varie de
0 à +∞. Le gain G n’a pas d’extremum.
Le tracé est simplifié en cherchant l’intersection des asymptotes :
d’où :
et x = 1.
Pour un filtre passe-bas ou passe-haut, l’intersection des asymptotes aux basses fréquences et aux hautes
fréquences de la courbe du gain dans le diagramme de Bode correspond à l’abscisse de coupure.
H jω
( )
V s
V e
----- -
1
1 R 1
1
R 2
------ jCω
+
+
---------------------------------------------- -
1
1
R 1
R 2
-----+
jR 1 Cω
+
---------------------------------------------- -
=
=
=
1
R 1
R 2
-----+
H jω
( )
1
1
R 1
R 2
-----+
---------------1
1 j
R 1 R 2 C
R 1 R 2
+
------------------- -ω
+
----------------------------------- -
×
=
ω réf
R 1 R 2
+
R 1 R 2 C
------------------- -
=
x
ω
ω réf
-------- -
=
H jx
( )
1
1
R 1
R 2
------ -
+
---------------1
1 jx
+
-------------- -
×
=
G x
( )
20
H jx
( )
(
)
log
20
1
R 1
R 2
------ -
+
log
–
10
1 x 2
+
(
).
log
–
=
=
f x
( )
H jx
( )
(
)
arg
–
Arctan
–
x.
=
=
x → 0
(
)
G x
( ) 20
R 2
R 1 R 2
+
------------------- -
.
log
→
x → + ∞
(
) ,
G x
( ) 20
R 2
R 1 R 2
+
------------------- -
20
x
( ) .
log
–
log
→
f x
( )
1 x 2
+
=
20
R 2
R 1 R 2
+
------------------- -
log
20
R 2
R 1 R 2
+
------------------- -
log
20
x
( ),
log
–
=
basses fréquences
hautes fréquences
x
( )
log
0
=
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