261
Cours
C.4. Cas plus général
C.4.1 - Fonction de transfert
• On étudie le filtre du premier ordre dont la fonction de transfert
a pour
expression en fonction de la variable x :
où a est une constante positive.
• On peut alors écrire la fonction de transfert
comme le produit de
deux fonctions :
avec
et
La fonction
a déjà été étudiée au § C.2 (filtre passe-bas).
C.4.2 - Étude des fonctions
et
Le gain en tension et la phase liés à la fonction
valent :
– Quand
alors on a :
et
– Quand
alors on a :
et
Aux hautes fréquences, le gain G 1 tend vers la courbe
En échelle logarithmique, il s’agit d’une droite de pente +20 dB/décade 1 coupant l’axe des abscisses pour
c’est-à-dire pour
C.4.3 - Étude de la fonction
• La fonction de transfert complexe
est le produit des deux fonctions complexes
et
On a alors
2 :
et
d’où :
• Les comportements asymptotiques s’additionnent pour le gain G et pour la
phase φ .
– Quand
alors on a :
et
– Quand
alors on a :
et
H
H jx
( )
H 0
1 jax
+
1 jx
+
------------------ - ,
=
H jx
( )
H jx
( )
H 1 jx
( )H 2 jx
( ),
=
H 1 jx
( )
1 jax
+
=
H 2 jx
( )
H 0
1 jx
+
------------- - .
=
H 2
H 1
H 2
H 1
G 1 x
( )
20
H 1 x
( )
(
)
log
10
1 a 2 x 2
+
(
)
log
=
=
φ 1 x
( )
arg H 1 jx
( )
(
)
Arctan ax
( ).
=
=
φ 1 x
( )
arg H 1 jx
( )
(
)
Arctan ax
( ).
=
=
x → 0,
G 1 x
( ) → 0
φ 1 x
( ) → 0.
x → + ∞ ,
G 1 x
( ) → 20
a
( )
log
20
x
( )
log
+
φ 1 x
( ) →
π
2
-- - .
20
a
( )
log
20
x
( ).
log
+
x
1
a
-- - ,
–
=
x
( )
log
a
( ).
log
–
=
1. Une décade correspond à une
variation de x d’un facteur
multiplicatif égal à 10, donc à une
variation de log(x) d’un facteur
additif égal à 1.
H
H
H 1
H 2 .
2. Pour le gain, le module d’un
produit est égal au produit des
modules et le logarithme d’un
produit est égal à la somme des
logarithmes. Pour la phase,
l’argument d’un produit est égal à
la somme des arguments.
G x
( )
G 1 x
( ) G 2 x
( )
+
=
φ x
( )
φ 1 x
( ) φ 2 x
( ),
+
=
G x
( )
20
H 0
( )
log
10
1 a 2 x 2
+
(
) 10
1 x 2
+
(
).
log
–
log
+
=
φ x
( )
Arctan ax
( ) Arctan x
( ).
–
=
x → 0,
G x
( ) → 20
H 0
( )
log
φ x
( ) → 0.
x → + ∞ ,
G x
( ) → 20
H 0
( )
log
20
a
( )
log
+
φ x
( ) → 0.
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Cours
C.4. Cas plus général
C.4.1 - Fonction de transfert
• On étudie le filtre du premier ordre dont la fonction de transfert
a pour
expression en fonction de la variable x :
où a est une constante positive.
• On peut alors écrire la fonction de transfert
comme le produit de
deux fonctions :
avec
et
La fonction
a déjà été étudiée au § C.2 (filtre passe-bas).
C.4.2 - Étude des fonctions
et
Le gain en tension et la phase liés à la fonction
valent :
– Quand
alors on a :
et
– Quand
alors on a :
et
Aux hautes fréquences, le gain G 1 tend vers la courbe
En échelle logarithmique, il s’agit d’une droite de pente +20 dB/décade 1 coupant l’axe des abscisses pour
c’est-à-dire pour
C.4.3 - Étude de la fonction
• La fonction de transfert complexe
est le produit des deux fonctions complexes
et
On a alors
2 :
et
d’où :
• Les comportements asymptotiques s’additionnent pour le gain G et pour la
phase φ .
– Quand
alors on a :
et
– Quand
alors on a :
et
H
H jx
( )
H 0
1 jax
+
1 jx
+
------------------ - ,
=
H jx
( )
H jx
( )
H 1 jx
( )H 2 jx
( ),
=
H 1 jx
( )
1 jax
+
=
H 2 jx
( )
H 0
1 jx
+
------------- - .
=
H 2
H 1
H 2
H 1
G 1 x
( )
20
H 1 x
( )
(
)
log
10
1 a 2 x 2
+
(
)
log
=
=
φ 1 x
( )
arg H 1 jx
( )
(
)
Arctan ax
( ).
=
=
φ 1 x
( )
arg H 1 jx
( )
(
)
Arctan ax
( ).
=
=
x → 0,
G 1 x
( ) → 0
φ 1 x
( ) → 0.
x → + ∞ ,
G 1 x
( ) → 20
a
( )
log
20
x
( )
log
+
φ 1 x
( ) →
π
2
-- - .
20
a
( )
log
20
x
( ).
log
+
x
1
a
-- - ,
–
=
x
( )
log
a
( ).
log
–
=
1. Une décade correspond à une
variation de x d’un facteur
multiplicatif égal à 10, donc à une
variation de log(x) d’un facteur
additif égal à 1.
H
H
H 1
H 2 .
2. Pour le gain, le module d’un
produit est égal au produit des
modules et le logarithme d’un
produit est égal à la somme des
logarithmes. Pour la phase,
l’argument d’un produit est égal à
la somme des arguments.
G x
( )
G 1 x
( ) G 2 x
( )
+
=
φ x
( )
φ 1 x
( ) φ 2 x
( ),
+
=
G x
( )
20
H 0
( )
log
10
1 a 2 x 2
+
(
) 10
1 x 2
+
(
).
log
–
log
+
=
φ x
( )
Arctan ax
( ) Arctan x
( ).
–
=
x → 0,
G x
( ) → 20
H 0
( )
log
φ x
( ) → 0.
x → + ∞ ,
G x
( ) → 20
H 0
( )
log
20
a
( )
log
+
φ x
( ) → 0.
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