259
Cours
C.3.2 - Fréquence de coupure
L’amplification en tension H d’un filtre passe-haut du premier ordre s’écrit
en fonction de x :
Comme
décroît quand x varie de 0 à +∞, la fonction
est croissante.
Elle est maximum pour
et on a alors
La pulsation de
coupure ω c vérifie donc :
avec
On en déduit :
soit :
et
C.3.3 - Étude du gain
Le gain en tension G d’un filtre passe-haut du premier ordre s’écrit en fonction de x :
• La fonction
croît quand x varie de 0 à +∞. Elle est maximum pour
et on a alors
1 :
• Par définition des valeurs de coupure, on sait que :
• Pour tracer le diagramme de Bode, il faut connaître le comportement
asymptotique de G quand
et quand
– Quand
alors
et on a :
Aux basses fréquences, le gain G tend vers la courbe
En
échelle logarithmique, il s’agit d’une droite de pente +20 dB/décade
2 .
– Quand
alors
et on a :
Aux hautes fréquences, le gain G tend vers le gain hautes fréquences maximum G max . L’asymptote correspondante est une droite horizontale. Les deux
courbes asymptotes se coupent en
C.3.4 - Étude de la phase
La phase φ d’un filtre passe-haut du premier ordre s’écrit en fonction de x :
La fréquence de coupure d’un filtre passe-haut du premier ordre vaut :
où
est la pulsation de référence du circuit.
H x
( )
H 0
x
1 x 2
+
------------------ -
H 0
1
1
x 2
---- -
+
------------------- .
=
=
1
x 2
---- -
H x
( )
x → + ∞
H max
H 0 .
=
H x c
( )
H 0
1
1
x c
2
---- -
+
------------------H 0
2
------- ,
=
=
x c
ω c
ω réf
-------- - .
=
x c
1,
=
w c
w réf
=
f c
w c
2p
-----w réf
2p
--------- - .
=
=
f c
w réf
2p
--------- - ,
=
ω réf
G x
( )
20
H x
( )
(
)
log
20
H 0
( )
log
20
x
( )
log
10
1 x 2
+
(
).
log
–
+
=
=
G x
( )
x → + ∞ ,
1. La fonction log étant
croissante, les variations de G(x )
sont les mêmes que celles de
H(x ).
G max
20
H 0
( ).
log
=
G 1
( )
G max 3dB.
–
=
x → 0
x → + ∞ .
x → 0,
H x
( ) → H 0 x
G x
( ) → 20
H 0
( )
log
20
x
( )
log
+
G max 20
x
( ) .
log
+
=
G max 20
x
( ).
log
+
2. Une décade correspond à une
variation de x d’un facteur
multiplicatif égal à 10, donc à une
variation de log(x ) d’un facteur
additif égal à 1.
x → + ∞ ,
H x
( ) → H 0
G x
( ) → G max
20
H 0
( ) .
log
=
x
1.
=
f x
( )
arg H jx
( )
(
)
arg N jx
( )
(
) arg D jx
( )
(
)
–
p
2
-- - Arctan x
( ).
–
=
=
=
KA_MPSI.book Page 259 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23