256
Chapitre 8 : Filtres du premier ordre
Exemple :
La fonction de transfert du filtre RC étudié à l’application 1 est (fig. 10) :
En posant
et
il vient :
fonction de transfert d’un filtre passe-bas.
C.2.2 - Fréquence de coupure – bande passante
L’amplification en tension H d’un filtre passe-bas du premier ordre s’écrit en
fonction de x :
La fonction
décroît quand x varie de 0 à +∞. Elle est maximum pour
et on a alors
La pulsation de coupure ω c vérifie donc :
avec
On en déduit :
soit :
et
C.2.3 - Étude du gain
Le gain en tension G d’un filtre passe-bas du premier ordre s’écrit en fonction
de x :
• La fonction G(x) décroît quand x varie de 0 à
Elle est maximum pour
et on a alors 1 :
• Par définition des valeurs de coupure, on sait que :
• Pour tracer le diagramme de Bode, il faut connaître le comportement
asymptotique de G quand
et quand
– Quand
alors
et on a :
Aux basses fréquences, le gain G tend vers le gain basses fréquences maximum G max . L’asymptote correspondante est une droite horizontale.
– Quand
alors
et on a :
La bande passante d’un filtre passe-bas du premier ordre vaut :
où ω réf est la pulsation de référence du circuit.
Fig. 10 - Exemple de filtre
passe-bas du premier ordre.
u
i
R
C
u C
H jω
( )
1
1 jRCω
+
------------------------ .
=
ω réf
1
RC
-------- -
=
x
ω
ω réf
-------- -,
=
H jx
( )
1
1 jx
+
------------- - ,
=
H x
( )
H 0
1 x 2
+
------------------ - .
=
H x
( )
x
0
=
H max
H 0 .
=
H x c
( )
H 0
1 x c
2
+
------------------ -
H 0
2
------- ,
=
=
x c
ω c
ω réf
-------- - .
=
x c
1,
=
w c
w réf
=
f c
w c
2p
-----w réf
2p
--------- - .
=
=
BP f
( )
f c
w réf
2p
--------- -,
=
=
G x
( )
20
H x
( )
(
)
log
20
H 0
( ) 10
1 x 2
+
(
).
log
–
log
=
=
+∞.
x
0
=
1. La fonction log étant
croissante, les variations de G(x)
sont les mêmes que celles de
H(x ).
G max
G 0
( )
20
H 0
( ).
log
=
=
G 1
( )
G max 3dB.
–
=
x → 0
x → + ∞ .
x → 0,
H x
( ) → H 0
G x
( ) → 20log H 0
( )
G max .
=
x → + ∞ ,
H x
( ) →
H 0
x
------G x
( ) → 20
H 0
( )
log
20
x
( )
log
–
G max 20
x
( ) .
log
–
=
KA_MPSI.book Page 256 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23
Chapitre 8 : Filtres du premier ordre
Exemple :
La fonction de transfert du filtre RC étudié à l’application 1 est (fig. 10) :
En posant
et
il vient :
fonction de transfert d’un filtre passe-bas.
C.2.2 - Fréquence de coupure – bande passante
L’amplification en tension H d’un filtre passe-bas du premier ordre s’écrit en
fonction de x :
La fonction
décroît quand x varie de 0 à +∞. Elle est maximum pour
et on a alors
La pulsation de coupure ω c vérifie donc :
avec
On en déduit :
soit :
et
C.2.3 - Étude du gain
Le gain en tension G d’un filtre passe-bas du premier ordre s’écrit en fonction
de x :
• La fonction G(x) décroît quand x varie de 0 à
Elle est maximum pour
et on a alors 1 :
• Par définition des valeurs de coupure, on sait que :
• Pour tracer le diagramme de Bode, il faut connaître le comportement
asymptotique de G quand
et quand
– Quand
alors
et on a :
Aux basses fréquences, le gain G tend vers le gain basses fréquences maximum G max . L’asymptote correspondante est une droite horizontale.
– Quand
alors
et on a :
La bande passante d’un filtre passe-bas du premier ordre vaut :
où ω réf est la pulsation de référence du circuit.
Fig. 10 - Exemple de filtre
passe-bas du premier ordre.
u
i
R
C
u C
H jω
( )
1
1 jRCω
+
------------------------ .
=
ω réf
1
RC
-------- -
=
x
ω
ω réf
-------- -,
=
H jx
( )
1
1 jx
+
------------- - ,
=
H x
( )
H 0
1 x 2
+
------------------ - .
=
H x
( )
x
0
=
H max
H 0 .
=
H x c
( )
H 0
1 x c
2
+
------------------ -
H 0
2
------- ,
=
=
x c
ω c
ω réf
-------- - .
=
x c
1,
=
w c
w réf
=
f c
w c
2p
-----w réf
2p
--------- - .
=
=
BP f
( )
f c
w réf
2p
--------- -,
=
=
G x
( )
20
H x
( )
(
)
log
20
H 0
( ) 10
1 x 2
+
(
).
log
–
log
=
=
+∞.
x
0
=
1. La fonction log étant
croissante, les variations de G(x)
sont les mêmes que celles de
H(x ).
G max
G 0
( )
20
H 0
( ).
log
=
=
G 1
( )
G max 3dB.
–
=
x → 0
x → + ∞ .
x → 0,
H x
( ) → H 0
G x
( ) → 20log H 0
( )
G max .
=
x → + ∞ ,
H x
( ) →
H 0
x
------G x
( ) → 20
H 0
( )
log
20
x
( )
log
–
G max 20
x
( ) .
log
–
=
KA_MPSI.book Page 256 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23