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Cours
C. Filtres du premier ordre
C.1. Expression de la fonction de transfert
Le dénominateur de la fonction de transfert
d’un filtre du premier ordre est
un polynôme du premier degré en jω. Pour étudier cette fonction, on pose :
où ω réf est la pulsation de référence du circuit.
L’écriture la plus générale de la fonction de transfert
d’un filtre du premier
ordre en fonction de la variable x est alors :
où
est un polynôme en jx de degré inférieur ou égal à 1.
C.2. Filtre passe-bas
C.2.1 - Fonction de transfert
Solution
• L’entrée non-inverseuse « + » est reliée à la masse du
montage : le potentiel V + est donc nul. Comme l’amplificateur fonctionne en régime linéaire, le potentiel V – de l’entrée
inverseuse « – » est nul aussi. La tension v e se retrouve alors
aux bornes de la résistance r ; de même la tension de sortie
v s se retrouve aux bornes de la résistance R en parallèle avec
le condensateur C.
• Comme les courants d’entrée de l’amplificateur opérationnel sont nuls, le courant i traversant la résistance r passe
dans la résistance R en parallèle avec le condensateur C.
• On a donc la relation (R et C sont étudiés en convention
générateur) :
avec
d’où :
La fonction de transfert complexe du montage s’écrit donc :
Le dénominateur de la fonction de transfert est un polynôme du premier ordre en jω : le filtre obtenu
est donc un filtre actif du premier ordre.
Propriété 1
La fonction de transfert d’un filtre passe-bas du premier ordre s’écrit
1 :
avec
C
R
r
–
+
S
v s
i
v e
i
ε
0
=
v s
v e
r i
=
i
1
R
--- - jCω
+




–
v s ,
=
v e
r
1
R
--- - jCω
+



 v s .
–
=
H jw
( )
v s
v e
---- -
–
R
r jrRCw
+
---------------------------- .
=
=
H
x
w
w réf
--------- -,
=
H
H jx
( )
N jx
( )
1 jx
+
--------------- ,
=
N jx
( )
1. H 0 peut être positif ou négatif.
Dans la suite, on choisira toujours
H 0 > 0.
H jx
( )
H 0
1 jx
+
-------------- - ,
=
x
ω
ω réf
-------- -.
=
KA_MPSI.book Page 255 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23