249
Cours
Le gain en tension est aussi noté
pour rappeler le module de la fonction de transfert
et la fonction logarithme liée à l’unité décibel.
A.4.3 - Diagramme de Bode
• Fréquence et pulsation
Comme
on a :
L’utilisation de
l’échelle en pulsation donne le même graphe, mais subissant une translation
de
suivant l’axe des abscisses
2 .
• Graduation de l’échelle logarithmique
Dans une échelle logarithmique, les graduations ne sont pas équidistantes. En
revanche, on retrouve la position d’une graduation grâce à la fonction logarithme. Par exemple, l’intervalle permettant de passer de la fréquence 100 Hz
à la fréquence 1 kHz est le même que celui permettant de passer de la fréquence 1 kHz à la fréquence 10 kHz.
Définition 4
Le gain en tension G du quadripôle, exprimé en décibel (dB), représente
la dépendance énergétique du filtre :
avec
amplification en tension.
Gain en tension du filtre RC
Déterminer le gain en tension du filtre RC étudié à l’application 1.
Solution
La fonction de transfert du montage est :
d’où :
Le gain en tension vaut donc :
Définition 5
Le diagramme de Bode est constitué par deux courbes (fig. 4) :
– le gain G de la fonction de transfert (en dB) en fonction du logarithme 1
de la fréquence f (en Hz) (ou de la pulsation ω en rad · s
–1 ) ;
– la phase f de la fonction de transfert (en rad) en fonction du logarithme
de la fréquence f (en Hz) (ou de la pulsation ω en rad · s –1 ).
G w
( )
20
U s
U e
------ -
log
20
H w
( ) ,
log
=
=
H ω
( )
H dB ω
( )
H jω
( )
Application 2
H jω
( )
1
1 jRCω
+
------------------------ -,
=
H ω
( )
H jω
( )
1
1 R 2 C 2 ω 2
+
----------------------------------- .
=
=
G w
( )
20
H ω
( )
(
)
log
–10
1 R 2 C 2 w 2
+
(
) .
log
=
=
1. On utilise alors du papier semilogarithmique, gradué en
abscisses dans une échelle
logarithmique.
0,1 1
10 10 2 10 3
–1 0
1
2
3
f Hz
( )
f
( )
log
Fig. 4 - Sur les graphes, figurent en ordonnées le gain G et la phase φ du montage, et en abscisses
la fréquence f en échelle logarithmique (en haut) et
en échelle linéaire (en bas).
f
( )
log
+20
–20
0,1 1
10 10 2 10 3
–1 0
1
2
3
G dB
( )
f Hz
( )
f
( )
log
φ rad
(
)
π
π
–
ω
2πf,
=
ω
( )
log
f
( )
log
2π
( ).
log
+
=
2π
( )
log
2. Dorénavant, nous utiliserons
indifféremment l’une ou l’autre
échelle pour tracer le diagramme
de Bode.
KA_MPSI.book Page 249 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23
Cours
Le gain en tension est aussi noté
pour rappeler le module de la fonction de transfert
et la fonction logarithme liée à l’unité décibel.
A.4.3 - Diagramme de Bode
• Fréquence et pulsation
Comme
on a :
L’utilisation de
l’échelle en pulsation donne le même graphe, mais subissant une translation
de
suivant l’axe des abscisses
2 .
• Graduation de l’échelle logarithmique
Dans une échelle logarithmique, les graduations ne sont pas équidistantes. En
revanche, on retrouve la position d’une graduation grâce à la fonction logarithme. Par exemple, l’intervalle permettant de passer de la fréquence 100 Hz
à la fréquence 1 kHz est le même que celui permettant de passer de la fréquence 1 kHz à la fréquence 10 kHz.
Définition 4
Le gain en tension G du quadripôle, exprimé en décibel (dB), représente
la dépendance énergétique du filtre :
avec
amplification en tension.
Gain en tension du filtre RC
Déterminer le gain en tension du filtre RC étudié à l’application 1.
Solution
La fonction de transfert du montage est :
d’où :
Le gain en tension vaut donc :
Définition 5
Le diagramme de Bode est constitué par deux courbes (fig. 4) :
– le gain G de la fonction de transfert (en dB) en fonction du logarithme 1
de la fréquence f (en Hz) (ou de la pulsation ω en rad · s
–1 ) ;
– la phase f de la fonction de transfert (en rad) en fonction du logarithme
de la fréquence f (en Hz) (ou de la pulsation ω en rad · s –1 ).
G w
( )
20
U s
U e
------ -
log
20
H w
( ) ,
log
=
=
H ω
( )
H dB ω
( )
H jω
( )
Application 2
H jω
( )
1
1 jRCω
+
------------------------ -,
=
H ω
( )
H jω
( )
1
1 R 2 C 2 ω 2
+
----------------------------------- .
=
=
G w
( )
20
H ω
( )
(
)
log
–10
1 R 2 C 2 w 2
+
(
) .
log
=
=
1. On utilise alors du papier semilogarithmique, gradué en
abscisses dans une échelle
logarithmique.
0,1 1
10 10 2 10 3
–1 0
1
2
3
f Hz
( )
f
( )
log
Fig. 4 - Sur les graphes, figurent en ordonnées le gain G et la phase φ du montage, et en abscisses
la fréquence f en échelle logarithmique (en haut) et
en échelle linéaire (en bas).
f
( )
log
+20
–20
0,1 1
10 10 2 10 3
–1 0
1
2
3
G dB
( )
f Hz
( )
f
( )
log
φ rad
(
)
π
π
–
ω
2πf,
=
ω
( )
log
f
( )
log
2π
( ).
log
+
=
2π
( )
log
2. Dorénavant, nous utiliserons
indifféremment l’une ou l’autre
échelle pour tracer le diagramme
de Bode.
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