Chapitre 7 : Régime sinusoïdal forcé
240
On a :
d’où :
On a donc :
d’où :
On rappelle que :
On en déduit :
d’où :
On a aussi
où Z est l’impédance réelle du moteur.
Lorsque le facteur de puissance vaut 1, la même puissance est obtenue avec une intensité plus faible que dans la question a) . Cela ne change rien pour l’utilisateur du moteur, mais cela diminue les pertes par effet Joule dans le réseau qui
achemine cette intensité.
c) Avec la capacité C ′ , nous avons :
En outre :
On en déduit donc :
soit :
où Z est l’impédance réelle du moteur.
Comme
et C ′ Ͻ C, il faut prendre :
d’où :
Le cas tanφ = –0,329 conduit à C′ = 164 µF. Cette valeur de la capacité conduit à un ensemble {moteur//capacité correctrice} globalement capacitif, et dont le facteur de puissance est également inférieur à 1.
Exercice 3
a) Les valeurs efficaces de la tension U et du courant I circulant dans le moteur permettent de calculer son impédance réelle :
Cette impédance diffère de la résistance R du moteur du fait de l’effet inductif de la bobine.
D
1 LCω 2
–
jRC ω
+
jC ω R j Lω
1
C ω
--------–
+
,
=
=
D
( )
arg
π
2
-- - Arctan
L ω
1
C ω
--------–
R
-----------------------
.
+
=
Arctan
L ω
R
-------- -
π
2
-- - Arctan
L ω
1
C ω
--------–
R
-----------------------
,
+
=
L ω
R
-------- -
R
–
L ω
1
C ω
--------–
-----------------------1
–
L ω
R
-------- -
1
RC ω
------------- -
–
----------------------------- .
=
=
π
2
-- - α
+
tan
1
α
tan
----------- - .
–
=
L ω
R
-------- -
L ω
R
-------- -
1
RC ω
------------- -
–
1,
–
=
C
L
L 2 w 2 R 2
+
--------------------------- -
138 m F .
=
=
C
L
Z 2
---- - ,
=
φ
cos
0,95.
=
Z′
R jLω
+
1 LC′ ω 2
–
jRC′ω
+
---------------------------------------------------R jLω
+
(
)1 LC′ ω 2
–
jR C′ ω
–
(
)
1 LC′ ω 2
–
(
) 2 R C′ ω
(
) 2
+
------------------------------------------------------------------------------------ -
=
=
R jω L C′ R 2 L 2 ω 2
+
(
)
–
[
]
+
1 LC′ ω 2
–
(
) 2 R C′ ω 2
+
----------------------------------------------------------------------- - .
=
φ
tan
ω L C′ R 2 L 2 ω 2
+
(
)
–
[
]
R
---------------------------------------------------------- -
ω L Z 2 C′
–
[
]
R
--------------------------------,
=
=
C¢
L
R
f
tan
w
----------------- -
–
Z 2
----------------------------,
=
φ
cos
0,95
=
φ
tan
0,329,
=
C¢
112 m F .
=
Z
U
I
---- -
5 Ω .
=
=
KA_MPSI.book Page 240 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23
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On a :
d’où :
On a donc :
d’où :
On rappelle que :
On en déduit :
d’où :
On a aussi
où Z est l’impédance réelle du moteur.
Lorsque le facteur de puissance vaut 1, la même puissance est obtenue avec une intensité plus faible que dans la question a) . Cela ne change rien pour l’utilisateur du moteur, mais cela diminue les pertes par effet Joule dans le réseau qui
achemine cette intensité.
c) Avec la capacité C ′ , nous avons :
En outre :
On en déduit donc :
soit :
où Z est l’impédance réelle du moteur.
Comme
et C ′ Ͻ C, il faut prendre :
d’où :
Le cas tanφ = –0,329 conduit à C′ = 164 µF. Cette valeur de la capacité conduit à un ensemble {moteur//capacité correctrice} globalement capacitif, et dont le facteur de puissance est également inférieur à 1.
Exercice 3
a) Les valeurs efficaces de la tension U et du courant I circulant dans le moteur permettent de calculer son impédance réelle :
Cette impédance diffère de la résistance R du moteur du fait de l’effet inductif de la bobine.
D
1 LCω 2
–
jRC ω
+
jC ω R j Lω
1
C ω
--------–
+
,
=
=
D
( )
arg
π
2
-- - Arctan
L ω
1
C ω
--------–
R
-----------------------
.
+
=
Arctan
L ω
R
-------- -
π
2
-- - Arctan
L ω
1
C ω
--------–
R
-----------------------
,
+
=
L ω
R
-------- -
R
–
L ω
1
C ω
--------–
-----------------------1
–
L ω
R
-------- -
1
RC ω
------------- -
–
----------------------------- .
=
=
π
2
-- - α
+
tan
1
α
tan
----------- - .
–
=
L ω
R
-------- -
L ω
R
-------- -
1
RC ω
------------- -
–
1,
–
=
C
L
L 2 w 2 R 2
+
--------------------------- -
138 m F .
=
=
C
L
Z 2
---- - ,
=
φ
cos
0,95.
=
Z′
R jLω
+
1 LC′ ω 2
–
jRC′ω
+
---------------------------------------------------R jLω
+
(
)1 LC′ ω 2
–
jR C′ ω
–
(
)
1 LC′ ω 2
–
(
) 2 R C′ ω
(
) 2
+
------------------------------------------------------------------------------------ -
=
=
R jω L C′ R 2 L 2 ω 2
+
(
)
–
[
]
+
1 LC′ ω 2
–
(
) 2 R C′ ω 2
+
----------------------------------------------------------------------- - .
=
φ
tan
ω L C′ R 2 L 2 ω 2
+
(
)
–
[
]
R
---------------------------------------------------------- -
ω L Z 2 C′
–
[
]
R
--------------------------------,
=
=
C¢
L
R
f
tan
w
----------------- -
–
Z 2
----------------------------,
=
φ
cos
0,95
=
φ
tan
0,329,
=
C¢
112 m F .
=
Z
U
I
---- -
5 Ω .
=
=
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