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Cours
En remplaçant
et
par leurs valeurs, on obtient donc
1 :
La puissance instantanée p est une fonction périodique du temps, de période
moitié de la période T de la source 2 .
D.1.2 - Puissance moyenne
La puissance instantanée p est la somme de deux termes :
– un terme sinusoïdal, de valeur moyenne nulle sur une période T ;
– un terme constant, égal à sa valeur moyenne
4 .
D.2. Valeurs efficaces
D.2.1 - Définition
Pour la tension u et l’intensité i, on a ainsi :
et
L’intensité efficace I eff est l’intensité constante qui donnerait la même puissance moyenne ᏼ que
en traversant une résistance R quelconque.
Définition 4
En régime sinusoïdal forcé, la puissance moyenne ᏼ est définie comme la
valeur moyenne de la puissance instantanée p sur une période T des
oscillations
3 :
La puissance moyenne ᏼ a pour expression :
où
est l’avance de phase de la tension u sur l’intensité i.
Définition 5
On définit le carré de la valeur efficace g eff de la grandeur périodique g(t)
de période T, exprimée dans la même unité que g, comme la valeur
moyenne du carré de cette grandeur
5 :
Valeur efficace d’une tension créneau
On considère la tension créneau représentée ci-contre, de
période T et d’amplitude U 0 . Déterminer la tension efficace
U eff de cette tension.
Solution
Par définition, la tension efficace U eff de la tension créneau vaut :
avec
ou
On en déduit donc :
d’où :
u t
( )
i t
( )
1. On utilise la relation
trigonométrique :
cosa cosb = [cos(a +b) + cos(a – b)].
1
2
-p t
( ) U 0 I 0
ωt ϕ
+
(
)
cos
ωt ϕ′
+
(
)
cos
1
2
-- -U 0 I 0
2ωt ϕ ϕ′
+ +
(
)
ϕ ϕ ′
–
(
)
cos
+
cos
[
] .
=
=
2. La pulsation de la puissance
instantanée p est 2ω, donc sa
période est
T
2
-- - .
3. On pourrait se contenter de
calculer la valeur moyenne sur la
période de la puissance
instantanée p.
T
2
-- -
ᏼ
p t
( )
〈
〉
1
T
--- - p t
( )dt.
0
T
∫
=
=
4. Pour s’en convaincre, il suffit de
calculer l’intégrale définissant la
puissance moyenne ᏼ.
ᏼ
1
2
-- -U 0 I 0
f,
cos
=
φ
Z
( )
arg
ϕ ϕ′
–
=
=
5. Les grandeurs efficaces sont
définies uniquement à partir des
grandeurs réelles. On n’utilise
jamais les grandeurs complexes.
g eff
2
g t
( ) 2
〈
〉
1
T
--- - g 2 t
( ) dt
0
T
∫
=
=
U eff
2
u t
( ) 2
〈
〉
=
I eff
2
i t
( ) 2
〈
〉.
=
i t
( )
U (V)
t (s)
0
U 0
– U 0
T
T
2
--- -
3T
2
------- -
2T
Application 4
U eff
2
u t
( ) 2
〈
〉
1
T
--- - u t
( ) 2 dt,
0
T
∫
=
=
u t
( )
U 0
=
U 0 .
–
U eff
2
1
T
--- - U 0
2 dt
0
T
∫
1
T
--- -U 0
2 T
U 0
2 ,
=
=
=
U eff
U 0 .
=
KA_MPSI.book Page 221 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23