220
Chapitre 7 : Régime sinusoïdal forcé
On considère plusieurs impédances complexes
reliées en un même
nœud N comme l’indique la figure 10. La loi d’Ohm complexe appliquée à
chaque impédance complexe donne 1 :
Or, d’après la loi des nœuds en N :
d’où :
Exprimé avec les admittances complexes, le théorème de Millman s’écrit :
D. Étude énergétique
D.1. Puissance instantanée – Puissance moyenne
D.1.1 - Puissance instantanée
La puissance instantanée p d’un dipôle est la puissance reçue par ce dipôle à
l’instant t. En régime sinusoïdal forcé, elle s’écrit :
avec
et
Théorème 3
La loi des nœuds exprimée en terme de potentiel s’écrit (théorème de
Millman) :
Courant complexe dans un condensateur
Dans le montage ci-contre, les générateurs de tension
et
ont la même pulsation ω. Déterminer l’intensité complexe du
courant circulant dans le condensateur de capacité C.
Solution
On applique en N la loi des nœuds exprimée en termes de
potentiel. Les potentiels complexes aux origines des dipôles
valent respectivement :
pour la résistance R 1 , 0 pour la
capacité C (reliée à la masse) et
pour la résistance R 2 . On
a alors (théorème de Millman) :
L’intensité circulant dans le condensateur vaut donc :
Z k
1. La tension complexe :
est la tension aux bornes de
l’impédance complexe
.
u k
V A k
V N
–
=
Z k
i k
u k
Z k
-----V A k
V N
–
Z k
---------------------- - .
=
=
i 1 i 2 i 3
…
+ + +
0,
=
V A k
V N
–
Z k
---------------------- -
k
∑
0.
=
V N
1
Z 1
------ -
1
Z 2
------ -
1
Z 3
------ - º
+
+
+
V A 1
Z 1
--------V A 2
Z 2
--------V A 3
Z 3
--------- º
+
+
+
=
V N Y 1 Y 2 Y 3
º
+
+
+
[
]
Y 1 V A 1
Y 2 V A 2
Y 3 V A 3
º
+
+
+
=
N
C
R 1
R 2
i
u
E 2
E 1
Application 3
E 1
E 2
i
E 1
E 2
V N
u
E 1
R 1
-----E 2
R 2
-----+
1
R 1
------ jCω
1
R 2
-----+
+
------------------------------------R 2 E 1 R 1 E 2
+
R 1 R 2 jR 1 R 2 Cω
+
+
--------------------------------------------------- - .
=
=
=
i
i
jCωu
jCw
R 2 E 1 R 1 E 2
+
R 1 R 2 jR 1 R 2 Cw
+
+
---------------------------------------------------- -.
=
=
p t
( )
u t
( )i t
( ),
=
u t
( )
U 0
ωt ϕ
+
(
)
cos
=
i t
( )
I 0
ωt ϕ′
+
(
).
cos
=
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Chapitre 7 : Régime sinusoïdal forcé
On considère plusieurs impédances complexes
reliées en un même
nœud N comme l’indique la figure 10. La loi d’Ohm complexe appliquée à
chaque impédance complexe donne 1 :
Or, d’après la loi des nœuds en N :
d’où :
Exprimé avec les admittances complexes, le théorème de Millman s’écrit :
D. Étude énergétique
D.1. Puissance instantanée – Puissance moyenne
D.1.1 - Puissance instantanée
La puissance instantanée p d’un dipôle est la puissance reçue par ce dipôle à
l’instant t. En régime sinusoïdal forcé, elle s’écrit :
avec
et
Théorème 3
La loi des nœuds exprimée en terme de potentiel s’écrit (théorème de
Millman) :
Courant complexe dans un condensateur
Dans le montage ci-contre, les générateurs de tension
et
ont la même pulsation ω. Déterminer l’intensité complexe du
courant circulant dans le condensateur de capacité C.
Solution
On applique en N la loi des nœuds exprimée en termes de
potentiel. Les potentiels complexes aux origines des dipôles
valent respectivement :
pour la résistance R 1 , 0 pour la
capacité C (reliée à la masse) et
pour la résistance R 2 . On
a alors (théorème de Millman) :
L’intensité circulant dans le condensateur vaut donc :
Z k
1. La tension complexe :
est la tension aux bornes de
l’impédance complexe
.
u k
V A k
V N
–
=
Z k
i k
u k
Z k
-----V A k
V N
–
Z k
---------------------- - .
=
=
i 1 i 2 i 3
…
+ + +
0,
=
V A k
V N
–
Z k
---------------------- -
k
∑
0.
=
V N
1
Z 1
------ -
1
Z 2
------ -
1
Z 3
------ - º
+
+
+
V A 1
Z 1
--------V A 2
Z 2
--------V A 3
Z 3
--------- º
+
+
+
=
V N Y 1 Y 2 Y 3
º
+
+
+
[
]
Y 1 V A 1
Y 2 V A 2
Y 3 V A 3
º
+
+
+
=
N
C
R 1
R 2
i
u
E 2
E 1
Application 3
E 1
E 2
i
E 1
E 2
V N
u
E 1
R 1
-----E 2
R 2
-----+
1
R 1
------ jCω
1
R 2
-----+
+
------------------------------------R 2 E 1 R 1 E 2
+
R 1 R 2 jR 1 R 2 Cω
+
+
--------------------------------------------------- - .
=
=
=
i
i
jCωu
jCw
R 2 E 1 R 1 E 2
+
R 1 R 2 jR 1 R 2 Cw
+
+
---------------------------------------------------- -.
=
=
p t
( )
u t
( )i t
( ),
=
u t
( )
U 0
ωt ϕ
+
(
)
cos
=
i t
( )
I 0
ωt ϕ′
+
(
).
cos
=
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