214
Chapitre 7 : Régime sinusoïdal forcé
A. Généralisation des notations
complexes
A.1. Le régime sinusoïdal forcé
Considérons un circuit linéaire quelconque alimenté par un générateur de
tension sinusoïdale (fig. 1). Son évolution au cours du temps est caractérisée
par une équation différentielle linéaire (cf. chapitre 4).
Lorsque le régime transitoire 1 s’achève, le circuit en régime sinusoïdal forcé
évolue de manière analogue à la source de tension branchée à ses bornes.
Dans la suite de ce chapitre, on n’étudiera que de tels régimes.
A.2. Utilisation des nombres complexes
Par exemple, étudions la portion de circuit constituée d’un conducteur ohmique de résistance R en parallèle avec un condensateur de capacité C (fig. 2).
La loi des nœuds s’écrit :
, avec
et
On en déduit l’équation différentielle linéaire à coefficients constants caractérisant l’évolution du circuit :
En notations complexes, cette équation différentielle devient 2 :
avec
et
B. Impédance et admittance
complexes
B.1. Définitions
En régime sinusoïdal forcé, il existe une relation linéaire entre la tension complexe
et l’intensité complexe
Définition 1
On appelle régime sinusoïdal forcé le régime sinusoïdal permanent associé à la solution particulière sinusoïdale de l’équation différentielle. Les grandeurs électriques i et u sont des fonctions sinusoïdales de même pulsation ω
que le générateur.
L’utilisation des nombres complexes permet de substituer à l’équation différentielle linéaire caractérisant l’évolution d’un circuit une relation linéaire
entre la tension complexe à ses bornes et l’intensité complexe du courant le traversant.
Fig. 1 - circuit linéaire alimenté
en tension sinusoïdale.
circuit
linéaire
e
1. Le régime transitoire dépend
des conducteurs ohmiques
définissant l’amortissement
(cf. chapitre 4).
u
i
Fig. 2 - Association parallèle
d’une résistance R et d’une
capacité C.
R
i R
i
i C
C
u
i
i R i C
+
=
u
Ri R
=
i C
C
du
dt
------ .
=
i
u
R
--- - C
du
dt
------ .
+
=
2. En notations complexes,
l’opérateur dérivation s’écrit :
d
dt
---- -
jω.
=
i
u
R
--- - jCωu
+
1
R
--- - jCω
+
u,
=
=
u
U 0 e j ωt ϕ
+
(
)
=
i
I 0 e j ωt ϕ′
+
(
) .
=
u
U 0 e jωt ϕ
+
(
)
=
i
I 0 e jωt ϕ′
+
(
) .
=
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Chapitre 7 : Régime sinusoïdal forcé
A. Généralisation des notations
complexes
A.1. Le régime sinusoïdal forcé
Considérons un circuit linéaire quelconque alimenté par un générateur de
tension sinusoïdale (fig. 1). Son évolution au cours du temps est caractérisée
par une équation différentielle linéaire (cf. chapitre 4).
Lorsque le régime transitoire 1 s’achève, le circuit en régime sinusoïdal forcé
évolue de manière analogue à la source de tension branchée à ses bornes.
Dans la suite de ce chapitre, on n’étudiera que de tels régimes.
A.2. Utilisation des nombres complexes
Par exemple, étudions la portion de circuit constituée d’un conducteur ohmique de résistance R en parallèle avec un condensateur de capacité C (fig. 2).
La loi des nœuds s’écrit :
, avec
et
On en déduit l’équation différentielle linéaire à coefficients constants caractérisant l’évolution du circuit :
En notations complexes, cette équation différentielle devient 2 :
avec
et
B. Impédance et admittance
complexes
B.1. Définitions
En régime sinusoïdal forcé, il existe une relation linéaire entre la tension complexe
et l’intensité complexe
Définition 1
On appelle régime sinusoïdal forcé le régime sinusoïdal permanent associé à la solution particulière sinusoïdale de l’équation différentielle. Les grandeurs électriques i et u sont des fonctions sinusoïdales de même pulsation ω
que le générateur.
L’utilisation des nombres complexes permet de substituer à l’équation différentielle linéaire caractérisant l’évolution d’un circuit une relation linéaire
entre la tension complexe à ses bornes et l’intensité complexe du courant le traversant.
Fig. 1 - circuit linéaire alimenté
en tension sinusoïdale.
circuit
linéaire
e
1. Le régime transitoire dépend
des conducteurs ohmiques
définissant l’amortissement
(cf. chapitre 4).
u
i
Fig. 2 - Association parallèle
d’une résistance R et d’une
capacité C.
R
i R
i
i C
C
u
i
i R i C
+
=
u
Ri R
=
i C
C
du
dt
------ .
=
i
u
R
--- - C
du
dt
------ .
+
=
2. En notations complexes,
l’opérateur dérivation s’écrit :
d
dt
---- -
jω.
=
i
u
R
--- - jCωu
+
1
R
--- - jCω
+
u,
=
=
u
U 0 e j ωt ϕ
+
(
)
=
i
I 0 e j ωt ϕ′
+
(
) .
=
u
U 0 e jωt ϕ
+
(
)
=
i
I 0 e jωt ϕ′
+
(
) .
=
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