Chapitre 6 : Étude du circuit RLC série : résonance
208
La solution réelle
est la partie réelle de la solution complexe
:
d’où :
Pour déterminer la solution particulière sinusoïdale
on utilise toujours les nombres complexes.
• Écriture de la solution complète :
• Les constantes A et B intervenant dans l’expression du régime transitoire se déterminent grâce aux
conditions initiales.
– La tension aux bornes du condensateur est continue. On a donc :
d’où :
– L’intensité i dans la bobine est continue. À
on a :
et
d’où :
On en déduit :
d’où :
L’expression complète de
est très lourde !
b) Le régime sinusoïdal permanent correspond à la solution particulière sinusoïdale u 2 . On détermine l’amplitude U 20 et la phase φ en utilisant l’écriture complexe
:
• L’amplitude réelle est le module de l’amplitude complexe :
On pose :
L’amplitude U 20 s’écrit alors sous la forme :
avec
La fonction f passe par un minimum en
On a alors :
On détermine très simplement le sens de variation de la fonction f en étudiant le signe de sa dérivée.
u 2 t
( )
u 2 t
( )
u 2 t
( )
E 0 cos ωt
( ) jsin ωt
( )
+
[
] 1 ω 2 τ 2 jωτ
–
–
(
)
1 ω 2 τ 2
–
(
) 2 ω 2 τ 2
+
---------------------------------------------------------------------------------------------------- ,
=
u 2 t
( ) Re u 2 t
( )
[
]
E 0
1 ω 2 τ 2
–
(
) 2 ω 2 τ 2
+
----------------------------------------------- 1 ω 2 τ 2
–
(
) cos ωt
( ) ωτsin ωt
( )
+
[
]
=
=
.
u 2 t
( ),
u t
( )
e
t
2τ
----- -
–
Acos
3t
2τ
--------


 Bsin
3t
2τ
--------



+
E 0 1 ω 2 τ 2
–
(
) cos ωt
( ) ωτsin ωt
( )
+
[
]
1 ω 2 τ 2
–
(
) 2 ω 2 τ 2
+
------------------------------------------------------------------------------------------ - .
+
=
u 0
( )
E 0
A
E 0 1 ω 2 τ 2
–
(
)
1 ω 2 τ 2
–
(
) 2 ω 2 τ 2
+
----------------------------------------------- ,
+
=
=
A
E 0 w 4 t 4
1 w 2 t 2
–
(
) 2 w 2 t 2
+
------------------------------------------------- .
=
t 0
= ,
i 0
( )
E 0
R
-----=
u 0
( ) E 0
= ,
du
dt
------ - 0
( )
0.
=
A
2τ
----- -
–
3
2τ
------ -B
E 0 ω 2 τ
1 ω 2 τ 2
–
(
) 2 ω 2 τ 2
+
----------------------------------------------+
+
0,
=
B
3
3
------ -E 0 w 2 t 2
w 2 t 2 2
–
(
)
1 w 2 t 2
–
(
) 2 w 2 t 2
+
------------------------------------------------- .
=
u t
( )
u 2
u 2
E 0 e jωt
1 ω 2 τ 2 jωτ
+
–
------------------------------------ -
U 2 e jωt .
=
=
U 20
U 2
E 0
1 ω 2 τ 2
–
(
) 2 ω 2 τ 2
+
--------------------------------------------------- -
E 0
1 w 2 t 2
–
w 4 t 4
+
---------------------------------------------- .
=
=
=
x
ωτ.
=
U 20
E 0
--------1
1 x 2 x 4
+
–
------------------------------1
f x
( )
------------- - ,
=
=
f x
( )
1 x 2
–
x 4
+ .
=
x
1
2
------ - .
=
U 20
E 0
--------



max
U 20
E 0
--------1
2
------ -
 
 
2
3
------ - 1,15.
≈
=
=
KA_MPSI.book Page 208 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23