Chapitre 6 : Étude du circuit RLC série : résonance
206
Lorsqu’on trace la droite
:
– la pente est
d’où la détermination de L ;
– l’ordonnée à l’origine est
d’où la détermination de R connaissant l’inductance L.
Exercice 5
a) Notons v la tension aux bornes du condensateur. On a :
et
On obtient l’équation différentielle :
b) On a :
d’où :
L’équation différentielle vérifiée par v peut alors s’écrire :
La tension appliquée étant sinusoïdale, on utilise les notations complexes et on remplace
par
et
par
On a donc :
avec
On factorise le dénominateur par j pour simplifier le calcul à venir de la phase φ . En effet, la partie réelle du dénominateur
change de signe avec
alors que la partie imaginaire
est toujours positive. Par cette
astuce, on pourra aboutir à une formule valable pour toutes les valeurs de
L’amplitude réelle V 0 est le module de l’amplitude complexe
:
V 0 est une fonction décroissante de la pulsation ω .
f r
1
C
--- 
 
1
4π 2 L
------------- - ,
R 2
8π 2 L 2
---------------–
,
i
C
dv
dt
------ -
v
R
--- -
+
=
u
L
di
dt
----- - Ri v.
+
+
=
u
LC
d 2 v
dt 2
--------- -
L
R
--- -
dv
dt
------ -
+




RC
dv
dt
------ - v
+



 v.
+
+
=
u
LC
d 2 v
dt 2
--------- -
L
R
---- RC
+



 dv
dt
------+
2v.
+
=
L
R
--- - RC τ
=
= ,
L C
τ 2 .
=
τ 2 d 2 v
dt 2
--------- - 2τ
dv
dt
------ - 2v
+
+
u t
( ).
=
dv
dt
------ -
jωv
d 2 v
dt 2
--------- -
ω 2 v
–
.
v – ω 2 τ 2 2jωτ 2
+
+
[
]
u ,
=
u
U 0 e jωt .
=
v
u
2 ω 2 τ 2 2jωτ
+
–
---------------------------------------u
j 2ωτ j 2 ω 2 τ 2
–
(
)
–
[
]
--------------------------------------------------- - .
=
=
2 ω 2 τ 2
–
(
)
ω ,
2 ωτ
ω 0.
Ͼ
V 0
V 0
U 0
2 ω 2 τ 2
–
(
) 2 4ω 2 τ 2
+
------------------------------------------------------U 0
4 w 4 t 4
+
------------------------=
=
.
U 0
2
------ -
V 0 (V)
ω (rad · s –1 )
0
KA_MPSI.book Page 206 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23