Méthodes
199
Aspects énergétiques du circuit RLC série
• Sur l’intervalle
la valeur moyenne de la grandeur G périodique est :
• En régime sinusoïdal permanent, la puissance moyenne fournie par le générateur est entièrement dissipée par effet Joule dans la résistance.
• Le facteur de qualité Q est proportionnel au rapport de l’énergie électromagnétique
emmagasinée dans le circuit par l’énergie
perdue par effet Joule au cours d’une période
des oscillations électriques à la résonance intensité :
Mise en œuvre
Comment utiliser les nombres complexes pour étudier
un circuit en régime sinusoïdal forcé ?
Soit un circuit linéaire soumis à une excitation sinusoïdale de pulsation ω. On se propose d’utiliser les nombres complexes pour déterminer la solution sinusoïdale permanente de l’équation.
➜ Savoir faire
1,0
0,6
0,4
0,2
0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
I 0
I max
---------0,8
x
0 ; T
[
] ,
G
〈 〉
1
T
--- - G t
( )dt.
0
T
∫
=
E élecmag
E perdue
Q
2p
E élecmag
E perdue
-------------------- - .
=
Méthode n° 1
Établir l’équation différentielle avec second membre qui caractérise le circuit.
Construire une équation complexe dont la partie réelle est l’équation précédente (la partie
imaginaire n’est pas utile en tant que telle, mais elle permet de simplifier le calcul).
Injecter une solution complexe de la forme
dans l’équation.
Factoriser l’amplitude complexe
Son expression ne fait plus intervenir le
temps.
Déterminer l’amplitude X 0 de la solution réelle et sa phase φ :
et
Cette solution s’accompagne d’une solution sans second membre transitoire de durée τ caractéristique.
Au bout de quelques τ, la solution sinusoïdale permanente perdure seule.
x t
( ) X 0
=
e j ωt φ
+
(
)
X 0
X 0 e jφ .
=
X 0
X 0
=
φ
arg X 0
( ).
=
KA_MPSI.book Page 199 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23
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Aspects énergétiques du circuit RLC série
• Sur l’intervalle
la valeur moyenne de la grandeur G périodique est :
• En régime sinusoïdal permanent, la puissance moyenne fournie par le générateur est entièrement dissipée par effet Joule dans la résistance.
• Le facteur de qualité Q est proportionnel au rapport de l’énergie électromagnétique
emmagasinée dans le circuit par l’énergie
perdue par effet Joule au cours d’une période
des oscillations électriques à la résonance intensité :
Mise en œuvre
Comment utiliser les nombres complexes pour étudier
un circuit en régime sinusoïdal forcé ?
Soit un circuit linéaire soumis à une excitation sinusoïdale de pulsation ω. On se propose d’utiliser les nombres complexes pour déterminer la solution sinusoïdale permanente de l’équation.
➜ Savoir faire
1,0
0,6
0,4
0,2
0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
I 0
I max
---------0,8
x
0 ; T
[
] ,
G
〈 〉
1
T
--- - G t
( )dt.
0
T
∫
=
E élecmag
E perdue
Q
2p
E élecmag
E perdue
-------------------- - .
=
Méthode n° 1
Établir l’équation différentielle avec second membre qui caractérise le circuit.
Construire une équation complexe dont la partie réelle est l’équation précédente (la partie
imaginaire n’est pas utile en tant que telle, mais elle permet de simplifier le calcul).
Injecter une solution complexe de la forme
dans l’équation.
Factoriser l’amplitude complexe
Son expression ne fait plus intervenir le
temps.
Déterminer l’amplitude X 0 de la solution réelle et sa phase φ :
et
Cette solution s’accompagne d’une solution sans second membre transitoire de durée τ caractéristique.
Au bout de quelques τ, la solution sinusoïdale permanente perdure seule.
x t
( ) X 0
=
e j ωt φ
+
(
)
X 0
X 0 e jφ .
=
X 0
X 0
=
φ
arg X 0
( ).
=
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