M thodes
Méthodes
197
L’essentiel
Résonance tension du circuit RLC série
• La tension u C aux bornes du condensateur d’un circuit RLC série soumis
à la tension sinusoïdale
vérifie l’équation différentielle du second ordre :
– La solution u 1 de l’équation homogène correspond au régime transitoire (cf. chapitre 4).
– La solution particulière sinusoïdale u 2 correspond au régime sinusoïdal
permanent. Elle est la partie réelle de la solution
de l’équation différentielle complexe associée :
avec
.
L’amplitude réelle U 0 est alors le module de l’amplitude complexe
et
la phase à l’origine des temps φ est son argument
:
On utilise le facteur de qualité :
et
avec
pulsation propre (cf. chapitre 4).
• L’étude de la résonance tension aux bornes du condensateur est l’étude
des variations de l’amplitude U 0 (et de la phase φ) des oscillations en
fonction de la pulsation ω de la source excitatrice.
– Si le facteur de qualité Q est faible (
ou
), alors U 0
décroît avec ω.
– Si le facteur de qualité Q est élevé (
ou
), alors l’oscillateur entre en résonance tension pour la pulsation :
et
Plus Q est élevé, plus la pulsation ω max est proche de la pulsation propre
ω 0 et plus la surtension U max aux bornes du condensateur à la résonance
est grande
E t
( )
E 0
ωt
( )
cos
=
LC
d 2 u C
dt 2
------------- - RC
du C
dt
----------- u C
+
+
E 0
wt
( ).
cos
=
u 2
u 2
U 0
wt f
+
(
)
cos
Re u 2 t
( )
[
],
=
=
u 2
U 0 e jwt
=
U 0
U 0 U 0 e jφ
=
(
)
U 0 U 0
E 0
1 LCω 2
–
(
) 2 RCω
(
) 2
+
---------------------------------------------------------------=
=
ou U 0
E 0
1 x 2
–
(
) 2 x 2
Q 2
------ -
+
---------------------------------------=
f
arg U 0
( )
π
2
-- - Arctan
1 LCω 2
–
RCω
------------------------ -
ou φ
+
–
π
2
-- - Arctan Q
1 x 2
–
x
-------------
.
+
–
=
=
=
Q
Lw 0
R
---------- -
=
x
w
w 0
----- - ,
=
w 0
1
LC
------------ -
=
Q
1
2
------ -
Ͻ
α
1
2
------ -
Ͼ
Q
1
2
------ -
Ͼ
α
1
2
------ -
Ͻ
w max
w 0 1
1
2Q 2
---------- -
–
=
U max
2Q 2
4Q 2 1
–
------------------------E 0
=
.
U max QE 0
≈
(
) .
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Méthodes
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L’essentiel
Résonance tension du circuit RLC série
• La tension u C aux bornes du condensateur d’un circuit RLC série soumis
à la tension sinusoïdale
vérifie l’équation différentielle du second ordre :
– La solution u 1 de l’équation homogène correspond au régime transitoire (cf. chapitre 4).
– La solution particulière sinusoïdale u 2 correspond au régime sinusoïdal
permanent. Elle est la partie réelle de la solution
de l’équation différentielle complexe associée :
avec
.
L’amplitude réelle U 0 est alors le module de l’amplitude complexe
et
la phase à l’origine des temps φ est son argument
:
On utilise le facteur de qualité :
et
avec
pulsation propre (cf. chapitre 4).
• L’étude de la résonance tension aux bornes du condensateur est l’étude
des variations de l’amplitude U 0 (et de la phase φ) des oscillations en
fonction de la pulsation ω de la source excitatrice.
– Si le facteur de qualité Q est faible (
ou
), alors U 0
décroît avec ω.
– Si le facteur de qualité Q est élevé (
ou
), alors l’oscillateur entre en résonance tension pour la pulsation :
et
Plus Q est élevé, plus la pulsation ω max est proche de la pulsation propre
ω 0 et plus la surtension U max aux bornes du condensateur à la résonance
est grande
E t
( )
E 0
ωt
( )
cos
=
LC
d 2 u C
dt 2
------------- - RC
du C
dt
----------- u C
+
+
E 0
wt
( ).
cos
=
u 2
u 2
U 0
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+
(
)
cos
Re u 2 t
( )
[
],
=
=
u 2
U 0 e jwt
=
U 0
U 0 U 0 e jφ
=
(
)
U 0 U 0
E 0
1 LCω 2
–
(
) 2 RCω
(
) 2
+
---------------------------------------------------------------=
=
ou U 0
E 0
1 x 2
–
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) 2 x 2
Q 2
------ -
+
---------------------------------------=
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( )
π
2
-- - Arctan
1 LCω 2
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------------------------ -
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–
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1 x 2
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.
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2
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=
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2Q 2
4Q 2 1
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------------------------E 0
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.
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