196
Chapitre 6 : Étude du circuit RLC série : résonance
En passant aux valeurs moyennes, l’égalité (1) s’écrit donc 1 :
car
La puissance moyenne P fournie par le générateur est maximale à la résonance intensité
Elle vaut alors :
D.3. Interprétation énergétique de Q
• L’énergie dissipée par effet Joule et perdue par le circuit au cours d’une
période T 0 à la résonance intensité vaut
2 :
À la résonance intensité, l’énergie électromagnétique emmagasinée dans la
bobine et dans le condensateur vaut
3 :
avec
et
Le rapport de ces deux énergies est alors :
• À la résonance intensité, le facteur de qualité Q vaut 4 :
avec
d’où :
En régime sinusoïdal permanent, la puissance moyenne fournie par le générateur est entièrement dissipée par effet Joule dans la résistance.
Propriété 3
Le facteur de qualité Q est proportionnel au rapport de l’énergie électromagnétique emmagasinée dans le circuit par l’énergie perdue par effet
Joule au cours d’une oscillation électrique à la résonance intensité :
<
d
1
2
-- -Cu C
2
dt
------------------------- ->
1
T
--- -
d
1
2
-- -Cu C
2
dt
------------------------- - dt
0
T
∫
1
T
--- -
1
2
-- -Cu C
2
0
T
0.
=
=
=
1. On a :
et
En effet, l’aire
comprise sous les deux courbes
est la même sur une période T :
et
<
ωt
( )
cos 2
>
1
2
-=
<
ωt
( )
sin 2
>
1
2
-- .
=
<
ωt
( )
cos 2
>
<
ωt
( )
sin 2
>
=
ωt
( )
cos 2
ωt
( )
sin 2
+
1.
=
( )>
RI 0
2
2
-------- -,
=
=
i t
( )
I 0
ωt φ′
+
(
).
cos
=
ω ω 0
=
(
).
P
( )>
E 0
2
2R
------- - .
=
=
2. On a : T 0
2π LC.
=
E perdue
( )>
E 0
2
2R
------- 2π LC
×
π
E 0
2
R
------ LC.
=
=
=
3. Voir les résultats des
applications 1 & 2.
E élecmag
1
2
-- -Li 2 1
2
-- -Cu C
2
+
,
=
i t
( )
E 0
R
-----ω 0 t
(
)
cos
=
u C
E 0
R
-----L
C
---ω 0 t
(
).
sin
–
=
E élecmag
1
2
-- -L
E 0
2
R 2
-----ω 0 t
(
)
cos 2
×
1
2
-- -C
E 0
2
R 2
-----L
C
---ω 0 t
(
)
sin 2
×
+
LE 0
2
2R 2
---------- - .
=
=
E élecmag
E perdue
------------------ -
LE 0
2
2R 2
---------- -
π
E 0
2
R
------ LC
----------------------1
2πR
----------L
C
---- .
=
=
4. Cf. chapitre 4 § C.2.3.
Q
1
2α
------ -
Lω 0
R
---------- -
=
=
ω 0
1
LC
------------ ,
=
Q
1
R
--- -
L
C
---- .
=
Q
2p
E élecmag
E perdue
-------------------- -
=
KA_MPSI.book Page 196 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23
Chapitre 6 : Étude du circuit RLC série : résonance
En passant aux valeurs moyennes, l’égalité (1) s’écrit donc 1 :
car
La puissance moyenne P fournie par le générateur est maximale à la résonance intensité
Elle vaut alors :
D.3. Interprétation énergétique de Q
• L’énergie dissipée par effet Joule et perdue par le circuit au cours d’une
période T 0 à la résonance intensité vaut
2 :
À la résonance intensité, l’énergie électromagnétique emmagasinée dans la
bobine et dans le condensateur vaut
3 :
avec
et
Le rapport de ces deux énergies est alors :
• À la résonance intensité, le facteur de qualité Q vaut 4 :
avec
d’où :
En régime sinusoïdal permanent, la puissance moyenne fournie par le générateur est entièrement dissipée par effet Joule dans la résistance.
Propriété 3
Le facteur de qualité Q est proportionnel au rapport de l’énergie électromagnétique emmagasinée dans le circuit par l’énergie perdue par effet
Joule au cours d’une oscillation électrique à la résonance intensité :
<
d
1
2
-- -Cu C
2
dt
------------------------- ->
1
T
--- -
d
1
2
-- -Cu C
2
dt
------------------------- - dt
0
T
∫
1
T
--- -
1
2
-- -Cu C
2
0
T
0.
=
=
=
1. On a :
et
En effet, l’aire
comprise sous les deux courbes
est la même sur une période T :
et
<
ωt
( )
cos 2
>
1
2
-=
<
ωt
( )
sin 2
>
1
2
-- .
=
<
ωt
( )
cos 2
>
<
ωt
( )
sin 2
>
=
ωt
( )
cos 2
ωt
( )
sin 2
+
1.
=
( )>
RI 0
2
2
-------- -,
=
=
i t
( )
I 0
ωt φ′
+
(
).
cos
=
ω ω 0
=
(
).
P
( )>
E 0
2
2R
------- - .
=
=
2. On a : T 0
2π LC.
=
E perdue
( )>
E 0
2
2R
------- 2π LC
×
π
E 0
2
R
------ LC.
=
=
=
3. Voir les résultats des
applications 1 & 2.
E élecmag
1
2
-- -Li 2 1
2
-- -Cu C
2
+
,
=
i t
( )
E 0
R
-----ω 0 t
(
)
cos
=
u C
E 0
R
-----L
C
---ω 0 t
(
).
sin
–
=
E élecmag
1
2
-- -L
E 0
2
R 2
-----ω 0 t
(
)
cos 2
×
1
2
-- -C
E 0
2
R 2
-----L
C
---ω 0 t
(
)
sin 2
×
+
LE 0
2
2R 2
---------- - .
=
=
E élecmag
E perdue
------------------ -
LE 0
2
2R 2
---------- -
π
E 0
2
R
------ LC
----------------------1
2πR
----------L
C
---- .
=
=
4. Cf. chapitre 4 § C.2.3.
Q
1
2α
------ -
Lω 0
R
---------- -
=
=
ω 0
1
LC
------------ ,
=
Q
1
R
--- -
L
C
---- .
=
Q
2p
E élecmag
E perdue
-------------------- -
=
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