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Cours
D. Aspect énergétique
D.1. Conservation de l’énergie
Dans le circuit, l’addition des tensions s’écrit :
soit :
Pour passer à une égalité en puissance 1 , on multiplie par
:
ce qui peut aussi s’écrire :
(1)
– Le terme
est la puissance P g positive fournie par le générateur idéal
de tension sinusoïdale aux bornes du circuit RLC série.
– Le terme Ri
2 est la puissance P J positive reçue par le conducteur ohmique
et dissipée par effet Joule.
– Le terme
représente l’énergie magnétique E mag emmagasinée par la
bobine.
– Le terme
représente l’énergie électrostatique E élec emmagasinée par
le condensateur.
La puissance électrique fournie par le générateur est dissipée par effet Joule
dans le conducteur ohmique et sert à faire varier l’énergie électromagnétique
E élecmag emmagasinée dans le circuit 2 :
D.2. Interprétation physique
Lorsque le régime sinusoïdal permanent est établi, la tension u C aux bornes
du condensateur et l’intensité i du courant dans le circuit sont des fonctions
périodiques du temps (de période T imposée par la source de tension). Il est
alors plus commode de travailler sur des valeurs moyennes que sur des valeurs
instantanées.
En régime sinusoïdal permanent, on a donc 3 :
Définition 2
Sur l’intervalle
la valeur moyenne de la grandeur G fonction
périodique du temps, notée , est définie par :
E t
( )
u R u L u C ,
+
+
=
E t
( )
Ri L
di
dt
----- - u C .
+
+
=
1. Le générateur est étudié en
convention générateur : on fait
donc apparaître la puissance
fournie. Le conducteur ohmique,
la bobine et le condensateur sont
étudiés en convention récepteur :
on fait donc apparaître les
puissances reçues.
i
C
du C
dt
---------- -
=
E t
( )i t
( )
Ri 2 Li
di
dt
----- - C
du C
dt
---------- -u C ,
+
+
=
E t
( )i t
( )
Ri 2
d
1
2
-- -Li 2




dt
----------------------- -
d
1
2
-- -Cu C
2




dt
-------------------------- -.
+
+
=
E t
( )i t
( )
1
2
-- -Li 2
1
2
-- -Cu C
2
2. On peut définir l’énergie
électromagnétique emmagasinée
dans le circuit comme la somme
de l’énergie magnétique
emmagasinée dans la bobine et
de l’énergie électrostatique
emmagasinée dans
le condensateur :
E élecmag = E mag + E élec .
P g
P J
dE mag
dt
--------------- -
dE élec
dt
--------------- .
+
+
=
0 ; T
[
],

1
T
--- - G t
( )dt.
0
T
∫
=
3. Comme u C et i sont périodiques
de période T, u C (0) = u C (T) et
i(0) = i (T).
<
d
1
2
-- -Li 2




dt
---------------------- ->
1
T
--- -
d
1
2
-- -Li 2




dt
---------------------- - dt
0
T
∫
1
T
--- -
1
2
-- -Li 2
0
T
0.
=
=
=
KA_MPSI.book Page 195 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23