193
Cours
C.3. Étude de la résonance intensité
C.3.1 - Utilisation de variables réduites
Comme pour l’étude de la résonance tension aux bornes du condensateur
(cf. § A.3.1), on utilise les variables réduites
et α (ou Q). L’amplitude
complexe
s’écrit alors 1 :
C.3.2 - Étude de l’amplitude I 0
L’amplitude I 0 s’exprime en fonction de la variable d’étude x par :
La fonction I 0 varie inversement
2 à la fonction f. Il suffit donc d’étudier les
variations de f, dont la dérivée est :
La dérivée
s’annule pour
; elle est négative pour
(f est
décroissante) et positive pour
(f est croissante). La fonction I 0
croît donc jusqu’à un maximum I max atteint en
puis décroît vers 0
(fig. 12). La valeur du maximum est :
On peut tracer le réseau de courbes
paramétrée par le facteur de qualité Q (fig. 13).
Propriété 2
L’amplitude I 0 de l’intensité est maximale pour la pulsation propre ω 0 : on
dit que l’oscillateur entre en résonance intensité. On a toujours :
x
ω
ω 0
-----=
I 0
1. Il est plus commode d’exprimer
en fonction de Q que de α.
I 0
I 0
2jαx
E 0
R
-----1 x 2
–
2jαx
+
--------------------------------E 0
R
-----1
2jα
-------- -
1
x
-- - x
–
1
+
------------------------------------E 0
R
-----1 jQ x
1
x
--–
+
------------------------------------ - .
=
=
=
I 0
E 0
R
-----1 Q 2 x
1
x
-- -
–
2
+
------------------------------------------ -
E 0
R
-----f x
( )
------------- - .
=
=
2. La fonction √ est croissante :
elle conserve donc le sens de
variation. La fonction inverse est
décroissante : elle inverse donc
le sens de variation.
f ′ x
( )
2Q 2 1
1
x 2
---- -
+
x
1
x
-- -
–
.
=
f ′
x
1
=
x ]0 ; 1[
∈
x ]1 ; + ∞ [
∈
x
1,
=
Fig. 12 - Tableau de variation
de I 0 .
x
+∞
I 0
E 0
R
-----0
0
1
0
I max
I 0 1
( )
E 0
R
------ .
=
=
I max
E 0
R
------ .
=
y
I 0
I max
--------- -
g Q x
( )
=
=
Fig. 13 - Allure des courbes g 1 ,
et
. La résonance est obtenue pour x = 1.
g 1/ 2
g 1/4
1,0
0,6
0,4
0,2
0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
I 0
I max
---------0,8
g 1 4
⁄
g 1/ 2
g 1
x
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Cours
C.3. Étude de la résonance intensité
C.3.1 - Utilisation de variables réduites
Comme pour l’étude de la résonance tension aux bornes du condensateur
(cf. § A.3.1), on utilise les variables réduites
et α (ou Q). L’amplitude
complexe
s’écrit alors 1 :
C.3.2 - Étude de l’amplitude I 0
L’amplitude I 0 s’exprime en fonction de la variable d’étude x par :
La fonction I 0 varie inversement
2 à la fonction f. Il suffit donc d’étudier les
variations de f, dont la dérivée est :
La dérivée
s’annule pour
; elle est négative pour
(f est
décroissante) et positive pour
(f est croissante). La fonction I 0
croît donc jusqu’à un maximum I max atteint en
puis décroît vers 0
(fig. 12). La valeur du maximum est :
On peut tracer le réseau de courbes
paramétrée par le facteur de qualité Q (fig. 13).
Propriété 2
L’amplitude I 0 de l’intensité est maximale pour la pulsation propre ω 0 : on
dit que l’oscillateur entre en résonance intensité. On a toujours :
x
ω
ω 0
-----=
I 0
1. Il est plus commode d’exprimer
en fonction de Q que de α.
I 0
I 0
2jαx
E 0
R
-----1 x 2
–
2jαx
+
--------------------------------E 0
R
-----1
2jα
-------- -
1
x
-- - x
–
1
+
------------------------------------E 0
R
-----1 jQ x
1
x
--–
+
------------------------------------ - .
=
=
=
I 0
E 0
R
-----1 Q 2 x
1
x
-- -
–
2
+
------------------------------------------ -
E 0
R
-----f x
( )
------------- - .
=
=
2. La fonction √ est croissante :
elle conserve donc le sens de
variation. La fonction inverse est
décroissante : elle inverse donc
le sens de variation.
f ′ x
( )
2Q 2 1
1
x 2
---- -
+
x
1
x
-- -
–
.
=
f ′
x
1
=
x ]0 ; 1[
∈
x ]1 ; + ∞ [
∈
x
1,
=
Fig. 12 - Tableau de variation
de I 0 .
x
+∞
I 0
E 0
R
-----0
0
1
0
I max
I 0 1
( )
E 0
R
------ .
=
=
I max
E 0
R
------ .
=
y
I 0
I max
--------- -
g Q x
( )
=
=
Fig. 13 - Allure des courbes g 1 ,
et
. La résonance est obtenue pour x = 1.
g 1/ 2
g 1/4
1,0
0,6
0,4
0,2
0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
I 0
I max
---------0,8
g 1 4
⁄
g 1/ 2
g 1
x
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