192
Chapitre 6 : Étude du circuit RLC série : résonance
L’amplitude I 0 et la phase à l’origine φ′ dépendent des données R, L, C, E 0 et
ω du problème. Leurs expressions seront déterminées dans le prochain paragraphe en utilisant les nombres complexes.
C.2. Utilisation des nombres complexes
• De même que pour la tension, on peut représenter l’intensité i 2 par une
grandeur complexe :
avec
et
L’amplitude réelle I 0 est le module de l’amplitude complexe
et la phase à
l’origine des temps
est son argument :
et
• D’après la définition de i 2 , on a donc (cf. § A.2.2) :
d’où :
Comme
l’amplitude complexe
s’écrit :
• L’amplitude réelle I 0 est le module de l’amplitude complexe
:
• La phase à l’origine
est l’argument de l’amplitude complexe
Elle se
déduit simplement de l’expression
:
d’où :
Régime sinusoïdal permanent de l’intensité i
On considère un circuit RLC série tel que la pulsation ω de la source de tension est égale à la pulsation propre ω 0 du circuit LC correspondant :
Écrire la solution réelle
du régime sinusoïdal permanent de l’intensité dans le circuit en fonction de R, L, C et E 0 .
Solution
Comme
le dénominateur de l’amplitude complexe I 0 est alors :
soit :
L’amplitude complexe est un nombre réel positif. On a donc :
et
d’où :
i 2
I 0
wt f¢
+
(
)
cos
Re i 2 t
( )
[
],
=
=
i 2
I 0 e jωt
=
I 0
I 0 e jφ′ .
=
I 0
φ′
I 0
I 0
=
f¢
I 0
( ).
arg
=
i 2
C
du 2
dt
--------- -
jCωu 2 ,
=
=
i 2
jCω
E 0 e jωt
LCω 2
–
jRCω 1
+
+
--------------------------------------------------- -.
=
i 2 t
( )
I 0 e jωt ,
=
I 0
I 0
jCwE 0
–LCw 2 jRCw 1
+
+
--------------------------------------------------- - .
=
I 0
I 0
I 0
CωE 0
1 LCω 2
–
(
) 2 RCω
(
) 2
+
---------------------------------------------------------------- .
=
=
φ′
I 0 .
i 2
jCωu 2
=
φ′
π
2
-- - φ,
+
=
φ′
Arctan
1 LCω 2
–
RCω
------------------------ -
.
=
Application 2
ω
ω 0
1
LC
------------ - .
=
=
i 2 t
( )
LCω 0
2
1,
=
1 LCω 0
2
–
(
) jRCω 0
+
jRCω 0 ,
=
I 0
jCωE 0
jRCω
----------------- -
E 0
R
------ .
=
=
I 0
I 0
E 0
R
-----=
=
φ′
I 0
( )
arg
0,
=
=
i 2 t
( )
I 0
ωt φ′
+
(
)
cos
E 0
R
-----wt
( ).
cos
=
=
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Chapitre 6 : Étude du circuit RLC série : résonance
L’amplitude I 0 et la phase à l’origine φ′ dépendent des données R, L, C, E 0 et
ω du problème. Leurs expressions seront déterminées dans le prochain paragraphe en utilisant les nombres complexes.
C.2. Utilisation des nombres complexes
• De même que pour la tension, on peut représenter l’intensité i 2 par une
grandeur complexe :
avec
et
L’amplitude réelle I 0 est le module de l’amplitude complexe
et la phase à
l’origine des temps
est son argument :
et
• D’après la définition de i 2 , on a donc (cf. § A.2.2) :
d’où :
Comme
l’amplitude complexe
s’écrit :
• L’amplitude réelle I 0 est le module de l’amplitude complexe
:
• La phase à l’origine
est l’argument de l’amplitude complexe
Elle se
déduit simplement de l’expression
:
d’où :
Régime sinusoïdal permanent de l’intensité i
On considère un circuit RLC série tel que la pulsation ω de la source de tension est égale à la pulsation propre ω 0 du circuit LC correspondant :
Écrire la solution réelle
du régime sinusoïdal permanent de l’intensité dans le circuit en fonction de R, L, C et E 0 .
Solution
Comme
le dénominateur de l’amplitude complexe I 0 est alors :
soit :
L’amplitude complexe est un nombre réel positif. On a donc :
et
d’où :
i 2
I 0
wt f¢
+
(
)
cos
Re i 2 t
( )
[
],
=
=
i 2
I 0 e jωt
=
I 0
I 0 e jφ′ .
=
I 0
φ′
I 0
I 0
=
f¢
I 0
( ).
arg
=
i 2
C
du 2
dt
--------- -
jCωu 2 ,
=
=
i 2
jCω
E 0 e jωt
LCω 2
–
jRCω 1
+
+
--------------------------------------------------- -.
=
i 2 t
( )
I 0 e jωt ,
=
I 0
I 0
jCwE 0
–LCw 2 jRCw 1
+
+
--------------------------------------------------- - .
=
I 0
I 0
I 0
CωE 0
1 LCω 2
–
(
) 2 RCω
(
) 2
+
---------------------------------------------------------------- .
=
=
φ′
I 0 .
i 2
jCωu 2
=
φ′
π
2
-- - φ,
+
=
φ′
Arctan
1 LCω 2
–
RCω
------------------------ -
.
=
Application 2
ω
ω 0
1
LC
------------ - .
=
=
i 2 t
( )
LCω 0
2
1,
=
1 LCω 0
2
–
(
) jRCω 0
+
jRCω 0 ,
=
I 0
jCωE 0
jRCω
----------------- -
E 0
R
------ .
=
=
I 0
I 0
E 0
R
-----=
=
φ′
I 0
( )
arg
0,
=
=
i 2 t
( )
I 0
ωt φ′
+
(
)
cos
E 0
R
-----wt
( ).
cos
=
=
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