190
Chapitre 6 : Étude du circuit RLC série : résonance
B.5. Solution complète de l’équation
différentielle
Il est difficile de donner la solution complète de l’équation différentielle dans
le cas général, car de trop nombreux paramètres interviennent pour la définir.
Nous allons donc étudier le cas particulier suivant :
– la pulsation de la source sinusoïdale est :
;
– le coefficient d’amortissement vaut :
De ces valeurs, on déduit les égalités
1 :
et
L’équation différentielle établie au § A.1.1 s’écrit alors :
• Le régime sinusoïdal permanent correspond à la solution particulière sinusoïdale u 2 de l’équation différentielle. En notations complexes, on peut écrire
2 :
d’où :
La solution réelle est la partie réelle de la solution complexe :
• Le régime transitoire correspond à la solution de l’équation homogène :
Le polynôme caractéristique en r associé à l’équation est :
de racines :
Le régime transitoire est donc pseudo-périodique ( cf. chapitre 4) :
Fig. 10 - Allure des courbes h 1 ,
et
. L’ordonnée du point d’abscisse 1 est
.
h 1 2
⁄
h 1 4
⁄
π
2
-- -
–
2,5
1,5
0,5 1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
π
2
-- -
–
x
π
–
3,5
4,5
0
h 1 4
⁄
h 1
h 1 2
⁄
φ (rad)
ω
ω 0
=
α
1
2
-- - .
=
1. La première égalité découle de
l’expression de ω 0 et la seconde
de l’expression de α.
LC
1
ω 0
2
-----=
RC
1
ω 0
------ .
=
d 2 u C
dt 2
------------- ω 0
du C
dt
---------- - ω 0
2 u C
+
+
ω 0
2 E 0
ω 0 t
(
).
cos
=
2. En notations complexes, on
remplace :
par
et
par
du 2
dt
-------- -
jω 0 u 2
d 2 u 2
dt 2
----------ω 0
2 u 2 .
–
ω 0
2
– u 2 jω 0
2 u 2 ω 0
2 u 2
+
+
ω 0
2 E 0 e
jω 0 t ,
=
u 2
jE 0 e
jω 0 t
–
E 0 e
j ω 0 t
π
2
-- -
–
.
=
=
u 2 t
( )
E 0
ω 0 t
π
2
-- -
–
cos
E 0
w 0 t
(
).
sin
=
=
d 2 u 1
dt 2
------------ ω 0
du 1
dt
--------- - ω 0
2 u 1
+
+
0.
=
r 2 ω 0 r ω 0
2
+
+
0,
=
r
1
2
-- -ω 0 1 j 3
±
[
].
–
=
u 1 t
( )
e
1
2
-- -ω 0 t
–
A
3
2
------ -ω 0 t
cos
B
3
2
------ -ω 0 t
sin
+
.
=
KA_MPSI.book Page 190 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23
Chapitre 6 : Étude du circuit RLC série : résonance
B.5. Solution complète de l’équation
différentielle
Il est difficile de donner la solution complète de l’équation différentielle dans
le cas général, car de trop nombreux paramètres interviennent pour la définir.
Nous allons donc étudier le cas particulier suivant :
– la pulsation de la source sinusoïdale est :
;
– le coefficient d’amortissement vaut :
De ces valeurs, on déduit les égalités
1 :
et
L’équation différentielle établie au § A.1.1 s’écrit alors :
• Le régime sinusoïdal permanent correspond à la solution particulière sinusoïdale u 2 de l’équation différentielle. En notations complexes, on peut écrire
2 :
d’où :
La solution réelle est la partie réelle de la solution complexe :
• Le régime transitoire correspond à la solution de l’équation homogène :
Le polynôme caractéristique en r associé à l’équation est :
de racines :
Le régime transitoire est donc pseudo-périodique ( cf. chapitre 4) :
Fig. 10 - Allure des courbes h 1 ,
et
. L’ordonnée du point d’abscisse 1 est
.
h 1 2
⁄
h 1 4
⁄
π
2
-- -
–
2,5
1,5
0,5 1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
π
2
-- -
–
x
π
–
3,5
4,5
0
h 1 4
⁄
h 1
h 1 2
⁄
φ (rad)
ω
ω 0
=
α
1
2
-- - .
=
1. La première égalité découle de
l’expression de ω 0 et la seconde
de l’expression de α.
LC
1
ω 0
2
-----=
RC
1
ω 0
------ .
=
d 2 u C
dt 2
------------- ω 0
du C
dt
---------- - ω 0
2 u C
+
+
ω 0
2 E 0
ω 0 t
(
).
cos
=
2. En notations complexes, on
remplace :
par
et
par
du 2
dt
-------- -
jω 0 u 2
d 2 u 2
dt 2
----------ω 0
2 u 2 .
–
ω 0
2
– u 2 jω 0
2 u 2 ω 0
2 u 2
+
+
ω 0
2 E 0 e
jω 0 t ,
=
u 2
jE 0 e
jω 0 t
–
E 0 e
j ω 0 t
π
2
-- -
–
.
=
=
u 2 t
( )
E 0
ω 0 t
π
2
-- -
–
cos
E 0
w 0 t
(
).
sin
=
=
d 2 u 1
dt 2
------------ ω 0
du 1
dt
--------- - ω 0
2 u 1
+
+
0.
=
r 2 ω 0 r ω 0
2
+
+
0,
=
r
1
2
-- -ω 0 1 j 3
±
[
].
–
=
u 1 t
( )
e
1
2
-- -ω 0 t
–
A
3
2
------ -ω 0 t
cos
B
3
2
------ -ω 0 t
sin
+
.
=
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