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Cours
On peut alors tracer la courbe des maxima par l’ensemble des points d’abscisse x max et d’ordonnée U max . En éliminant le paramètre α entre x max et U max ,
on obtient l’équation cartésienne
1 de cette courbe (fig. 7) :
avec
On déduit de cette expression que :
quand
c’est-à-dire quand
(ou
).
Pour cette raison, on peut aussi définir le facteur de qualité Q comme le facteur de surtension du circuit
2 :
où ω 0 est la pulsation propre du circuit.
B.4.3 - Étude de la phase f
La phase φ à l’origine s’exprime en fonction de la variable d’étude x par :
avec
La fonction f est une fonction décroissante de x quelle que soit la valeur de α.
Comme la fonction Arctan est croissante, la fonction φ décroît de 0 à –π
(fig. 9).
On peut tracer le réseau de courbes
paramétrée par le coefficient
d’amortissement α, c’est-à-dire par le facteur de qualité Q (fig. 10). Dans
tous les cas, on :
Plus le coefficient d’amortissement α est faible, c’est-à-dire plus le facteur
de qualité Q est élevé, et plus la surtension aux bornes du condensateur à
la résonance tension est grande (fig. 8).
1. Les calculs à effectuer pour
obtenir l’expression de U max en
fonction de x max ne sont pas
compliqués.
U max x max
(
)
E 0
1 x max
4
–
------------------------- - ,
=
x max
0 ; 1
[
] .
∈
U max ∞
→
x max 1,
→
α 0
→
Q ∞
→
2. On a : U 0 = QE 0 pour x = 1,
c’est-à-dire pour ω = ω 0 .
Q
U 0 (w 0 )
E 0
------------------- ,
=
Fig. 8 - Allure des courbes
,
et
. Plus Q augmente, plus la surtension à
la résonance est grande.
g 1/4 g 1/6
g 1/8
4,0
3,0
2,0
0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
1,0
x
U 0
E 0
------ -
g 1 4
⁄
g 1 6
⁄
g 1 8
⁄
φ
π
2
-- -
–
Arctan
1 x 2
–
2αx
-------------



+
π
2
-- -
–
Arctan f x
( )
[
],
+
=
=
f x
( )
1
2α
------ -
1
x
-- - x
–



 .
=
Fig. 9 - Tableau de variation
de φ.
x
+∞
φ
π
2
-- -
–
0
– π
0
1
φ
h α x
( )
=
φ 1
( )
π
2
-- - .
–
=
KA_MPSI.book Page 189 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23