188
Chapitre 6 : Étude du circuit RLC série : résonance
• Deuxième cas :
(c’est-à-dire
).
La dérivée
s’annule pour
et
; elle est négative pour
( f est décroissante) et positive pour
( f est croissante). La fonction U 0 croît donc jusqu’à un maximum U max atteint
en
puis décroît vers 0 (fig. 5). La valeur du maximum est :
L’abscisse x max croît vers 1 quand
La pulsation correspondante ω max
croît donc vers la pulsation propre ω 0 du circuit.
On peut tracer le réseau de courbes
paramétrée par le coefficient d’amortissement α, c’est-à-dire par le facteur de qualité Q (fig. 6).
Dans tous les cas, on a :
et
B.4.2 - Courbe des maxima
Pour
(ou
), la courbe
passe par un maximum :
pour
Propriété 1
Si le coefficient d’amortissement α est faible
c’est-à-dire si le
facteur de qualité Q est élevé
alors l’amplitude U 0 de la tension
passe par un maximum
pour une pulsation ω max voisine de
la pulsation propre ω 0 (
et ω max → ω 0 quand
) : on dit
que l’oscillateur entre en résonance tension.
α
1
2
------ - 0,7
≈
Ͻ
Q
1
2
------ - 0,7
≈
Ͼ
f ′
x
0
=
x
1 2α 2
–
=
x ]0 ; 1 2 α 2
–
[
∈
x ] 1 2α 2
–
; + ∞ [
∈
x max
1 2α 2
–
=
,
Fig. 5 - Tableau de variation
de U 0 .
x
+∞
U 0
U max
E 0
0
x max
0
U max
U 0 x max
(
)
U 0 1 2α 2
–
(
)
E 0
2a 1 a 2
–
-------------------------- - .
=
=
=
α 0.
→
α
1
2
------ -
Ͻ
,
Q
1
2
------ -
Ͼ
,
U max E 0
Ͼ
(
)
ω max ω 0
Ͻ
α 0
→
y
U 0
E 0
------ -
g α x
( )
=
=
y 0
( )
1
=
y 1
( )
Q.
=
Fig. 6 - Allure des courbes g 1 ,
et . L’ordonnée du point d’abscisse 1 est égale au
facteur de qualité Q.
g 1
2
-----g 1
4
-2,0
1,5
1,0
0,5
0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
1/ 2
g 1
x
U 0
E 0
------ -
g
g 1
2
------ -
1
4
- -
Fig. 7 - Courbe des maxima
U max (x max ), au facteur E 0 près.
0,1 0,3 0,5 0,7
8
6
4
2
U max
E 0
------------ -
0,9
x max
0
α
1
2
------ -
Ͻ
Q
1
2
------ -
Ͼ
U 0 x
( )
U max
E 0
2α 1 α 2
–
--------------------------- ,
=
x
x max
1 2α 2
–
.
=
=
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Chapitre 6 : Étude du circuit RLC série : résonance
• Deuxième cas :
(c’est-à-dire
).
La dérivée
s’annule pour
et
; elle est négative pour
( f est décroissante) et positive pour
( f est croissante). La fonction U 0 croît donc jusqu’à un maximum U max atteint
en
puis décroît vers 0 (fig. 5). La valeur du maximum est :
L’abscisse x max croît vers 1 quand
La pulsation correspondante ω max
croît donc vers la pulsation propre ω 0 du circuit.
On peut tracer le réseau de courbes
paramétrée par le coefficient d’amortissement α, c’est-à-dire par le facteur de qualité Q (fig. 6).
Dans tous les cas, on a :
et
B.4.2 - Courbe des maxima
Pour
(ou
), la courbe
passe par un maximum :
pour
Propriété 1
Si le coefficient d’amortissement α est faible
c’est-à-dire si le
facteur de qualité Q est élevé
alors l’amplitude U 0 de la tension
passe par un maximum
pour une pulsation ω max voisine de
la pulsation propre ω 0 (
et ω max → ω 0 quand
) : on dit
que l’oscillateur entre en résonance tension.
α
1
2
------ - 0,7
≈
Ͻ
Q
1
2
------ - 0,7
≈
Ͼ
f ′
x
0
=
x
1 2α 2
–
=
x ]0 ; 1 2 α 2
–
[
∈
x ] 1 2α 2
–
; + ∞ [
∈
x max
1 2α 2
–
=
,
Fig. 5 - Tableau de variation
de U 0 .
x
+∞
U 0
U max
E 0
0
x max
0
U max
U 0 x max
(
)
U 0 1 2α 2
–
(
)
E 0
2a 1 a 2
–
-------------------------- - .
=
=
=
α 0.
→
α
1
2
------ -
Ͻ
,
Q
1
2
------ -
Ͼ
,
U max E 0
Ͼ
(
)
ω max ω 0
Ͻ
α 0
→
y
U 0
E 0
------ -
g α x
( )
=
=
y 0
( )
1
=
y 1
( )
Q.
=
Fig. 6 - Allure des courbes g 1 ,
et . L’ordonnée du point d’abscisse 1 est égale au
facteur de qualité Q.
g 1
2
-----g 1
4
-2,0
1,5
1,0
0,5
0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
1/ 2
g 1
x
U 0
E 0
------ -
g
g 1
2
------ -
1
4
- -
Fig. 7 - Courbe des maxima
U max (x max ), au facteur E 0 près.
0,1 0,3 0,5 0,7
8
6
4
2
U max
E 0
------------ -
0,9
x max
0
α
1
2
------ -
Ͻ
Q
1
2
------ -
Ͼ
U 0 x
( )
U max
E 0
2α 1 α 2
–
--------------------------- ,
=
x
x max
1 2α 2
–
.
=
=
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