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Cours
B.4. Étude de la résonance tension
L’étude de la résonance tension aux bornes du condensateur du circuit RLC
série 1 consiste à étudier les variations de l’amplitude réelle U 0 et de la phase
à l’origine φ en fonction de la pulsation ω de la source de tension excitatrice,
c’est-à-dire en fonction de la variable réduite
B.4.1 - Étude de l’amplitude U 0
L’amplitude U 0 s’exprime en fonction de la variable d’étude x par :
La fonction U 0 varie inversement
2 à la fonction f. Il suffit donc d’étudier les
variations de f, dont la dérivée est :
• Premier cas :
(c’est-à-dire
).
La dérivée s’annule pour
et elle est positive pour
(f est
croissante). La fonction U 0 décroît donc constamment vers 0 (fig. 4).
Coefficient
d’amortissement
Facteur
de qualité
Solution
complexe
Amplitude complexe avec
Amplitude réelle
Phase à l’origine
des temps
Régime sinusoïdal permanent
Si le coefficient d’amortissement α est élevé
c’est-à-dire si le facteur de qualité Q est faible
alors l’amplitude U 0 des oscillations
décroît avec la pulsation ω.
α
R
2Lω 0
-------------1
2
-- -RCω 0
=
=
α
f
2mω 0
-------------- -
1
2
-- -
f
k
-- -ω 0
=
=
Q
1
2α
------ -
=
Q
1
2α
------ -
=
u C
E 0 e jωt
LCω 2
–
jRCω 1
+
+
--------------------------------------------------- -
=
X
F 0
k
----- -e jωt
m
k
----ω 2
–
j
f
k
-- -ω 1
+
+
----------------------------------------- -
=
x
w
w 0
----- -
=
U 0
E 0
1 x 2
–
2jαx
+
--------------------------------=
X 0
F 0
k
----- -
1 x 2
–
2jαx
+
--------------------------------=
U 0
E 0
1 x 2
–
(
) 2 4α 2 x 2
+
-----------------------------------------------=
X 0
F 0
k
----- -
1 x 2
–
(
) 2 4α 2 x 2
+
-----------------------------------------------=
φ
π
2
-- -
–
Arctan
1 x 2
–
2αx
-------------



+
=
φ
π
2
-- -
–
Arctan
1 x 2
–
2αx
-------------



+
=
u C t
( )
U 0
ωt φ
+
(
)
cos
=
X t
( )
X 0
ωt φ
+
(
)
cos
=
1. L’étude est similaire à celle
effectuée pour la résonance
élongation de l’oscillateur
mécanique.
x
ω
ω 0
------ .
=
U 0
E 0
1 x 2
–
(
) 2 4α 2 x 2
+
-----------------------------------------------E 0
f x
( )
------------- - .
=
=
2. La fonction √ est croissante :
elle conserve donc le sens de
variation. La fonction inverse est
décroissante : elle inverse donc
le sens de variation.
f ′ x
( )
4x x 2 1
–
2α 2
+
(
) .
=
α
1
2
------ - 0,7
≈
Ͼ
Q
1
2
------ - 0,7
≈
Ͻ
f ′
x
0
=
x ]0 ; + ∞[
∈
x
+∞
U 0
Fig. 4 - Tableau de variation
de U 0 .
E 0
0
0
α
1
2
------ -
Ͼ



 ,
Q
1
2
------ -
Ͻ



 ,
KA_MPSI.book Page 187 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23