186
Chapitre 6 : Étude du circuit RLC série : résonance
B.3. Expressions en variables réduites
B.3.1 - Coefficient d’amortissement a
Le régime sinusoïdal permanent dépend des paramètres R, L et C du circuit.
Comme pour l’étude du régime transitoire (cf. chapitre 4), il peut être plus
simple d’exprimer l’amplitude réelle U 0 et la phase à l’origine φ en fonction
de variables réduites. On utilise alors :
– la variable
où
est la pulsation propre du circuit ;
– le coefficient d’amortissement
(ou, ce qui est équivalent, le facteur de qualité
).
L’amplitude complexe
s’écrit alors
1 :
On en déduit donc :
et
B.3.2 - Analogie avec l’oscillateur linéaire
Le tableau ci-dessous résume les analogies entre l’oscillateur électrique en
régime sinusoïdal forcé étudié en électrocinétique et l’oscillateur linéaire en
régime sinusoïdal forcé étudié en mécanique. L’inductance L correspond à
« l’inertie », la résistance R aux « frottements » et l’inverse de la capacité C au
« rappel » (cf. chapitre 4 § C. 6).
• La phase à l’origine des temps est l’argument de l’amplitude complexe
:
On trouverait bien le même résultat en appliquant la formule générale. En effet :
avec
d’où :
(car Arctan(0) = 0).
• La solution réelle u 2 (t) du régime sinusoïdal permanent s’écrit donc :
soit :
Oscillateur électrique
Oscillateur mécanique
Équation
différentielle
Pulsation propre
U 0
φ
U 0
( )
arg
j
–
( )
arg
–
π
2
-- - .
=
=
=
φ
π
2
-- -
–
Arctan
1 LCω 2
–
RCω
------------------------ -
+
=
1 LCω 0
2
–
0,
=
φ
π
2
-- -
–
=
u 2 t
( )
U 0
ωt φ
+
(
)
cos
E 0
R
-----L
C
---ωt –
π
2
-- -
,
cos
=
=
u 2 t
( )
E 0
R
-----L
C
---wt
( ).
sin
=
x
ω
ω 0
------,
=
ω 0
1
LC
------------ -
=
α
R
2Lω 0
-------------1
2
-- -RCω 0
=
=
Q
1
2α
------ -
=
U 0
1. Les calculs à effectuer pour
obtenir les expressions de
U 0
et φ en fonction de x et de α ne
sont pas compliqués.
U 0 ,
U 0
E 0
1 x 2
–
2jαx
+
--------------------------------- .
=
U 0
E 0
1 x 2
–
(
) 2 4a 2 x 2
+
------------------------------------------------- -
=
f
–
p
2
-- - Arctan
1 x 2
–
2a x
-------------- -
.
+
=
LC
d 2 u C
dt 2
------------- RC
du C
dt
---------- - u C
+
+
E 0
ωt
( )
cos
=
m
d 2 X
dt 2
----------- f
dX
dt
-------- kX
+
+
F 0
ωt
( )
cos
=
ω 0
1
LC
------------ -
=
ω 0
k
m
---=
KA_MPSI.book Page 186 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23
Chapitre 6 : Étude du circuit RLC série : résonance
B.3. Expressions en variables réduites
B.3.1 - Coefficient d’amortissement a
Le régime sinusoïdal permanent dépend des paramètres R, L et C du circuit.
Comme pour l’étude du régime transitoire (cf. chapitre 4), il peut être plus
simple d’exprimer l’amplitude réelle U 0 et la phase à l’origine φ en fonction
de variables réduites. On utilise alors :
– la variable
où
est la pulsation propre du circuit ;
– le coefficient d’amortissement
(ou, ce qui est équivalent, le facteur de qualité
).
L’amplitude complexe
s’écrit alors
1 :
On en déduit donc :
et
B.3.2 - Analogie avec l’oscillateur linéaire
Le tableau ci-dessous résume les analogies entre l’oscillateur électrique en
régime sinusoïdal forcé étudié en électrocinétique et l’oscillateur linéaire en
régime sinusoïdal forcé étudié en mécanique. L’inductance L correspond à
« l’inertie », la résistance R aux « frottements » et l’inverse de la capacité C au
« rappel » (cf. chapitre 4 § C. 6).
• La phase à l’origine des temps est l’argument de l’amplitude complexe
:
On trouverait bien le même résultat en appliquant la formule générale. En effet :
avec
d’où :
(car Arctan(0) = 0).
• La solution réelle u 2 (t) du régime sinusoïdal permanent s’écrit donc :
soit :
Oscillateur électrique
Oscillateur mécanique
Équation
différentielle
Pulsation propre
U 0
φ
U 0
( )
arg
j
–
( )
arg
–
π
2
-- - .
=
=
=
φ
π
2
-- -
–
Arctan
1 LCω 2
–
RCω
------------------------ -
+
=
1 LCω 0
2
–
0,
=
φ
π
2
-- -
–
=
u 2 t
( )
U 0
ωt φ
+
(
)
cos
E 0
R
-----L
C
---ωt –
π
2
-- -
,
cos
=
=
u 2 t
( )
E 0
R
-----L
C
---wt
( ).
sin
=
x
ω
ω 0
------,
=
ω 0
1
LC
------------ -
=
α
R
2Lω 0
-------------1
2
-- -RCω 0
=
=
Q
1
2α
------ -
=
U 0
1. Les calculs à effectuer pour
obtenir les expressions de
U 0
et φ en fonction de x et de α ne
sont pas compliqués.
U 0 ,
U 0
E 0
1 x 2
–
2jαx
+
--------------------------------- .
=
U 0
E 0
1 x 2
–
(
) 2 4a 2 x 2
+
------------------------------------------------- -
=
f
–
p
2
-- - Arctan
1 x 2
–
2a x
-------------- -
.
+
=
LC
d 2 u C
dt 2
------------- RC
du C
dt
---------- - u C
+
+
E 0
ωt
( )
cos
=
m
d 2 X
dt 2
----------- f
dX
dt
-------- kX
+
+
F 0
ωt
( )
cos
=
ω 0
1
LC
------------ -
=
ω 0
k
m
---=
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