185
Cours
B.2.3 - Solution réelle
• La solution particulière sinusoïdale
est la partie réelle
de la solution particulière complexe
:
avec
• D’après l’expression de l’amplitude complexe
l’amplitude réelle U 0 vaut
1 :
• Pour calculer la phase à l’origine des temps φ, on utilise les propriétés des
arguments des nombres complexes
2 . En écrivant l’amplitude complexe
comme le rapport de deux nombres, on a :
(dénominateur), car arg(E 0 ) = 0 (réel positif).
La partie réelle du dénominateur est
Comme son signe varie avec
les valeurs de la pulsation ω, elle ne permet pas d’aboutir à une formule unique
valable dans tous les cas. En revanche, la partie imaginaire RCω du dénominateur est toujours positive. On peut donc écrire le dénominateur sous la forme :
d’argument :
La phase à l’origine des temps φ vaut donc :
Remarque : on pourrait aussi écrire la solution u 2 sous la forme :
avec
L’amplitude réelle U 0 est le module de l’amplitude complexe
et la phase
à l’origine des temps φ est son argument :
et
Régime sinusoïdal permanent de la tension u C
On considère un circuit RLC série tel que la pulsation ω de la source de tension est égale à la pulsation propre ω 0 du circuit LC correspondant :
Écrire la solution réelle u 2 (t) du régime sinusoïdal permanent de la tension aux bornes du condensateur en fonction de R, L, C et E 0 .
Solution
• Comme
le dénominateur de l’amplitude complexe U 0 est alors :
soit :
• L’amplitude réelle U 0 est le module de l’amplitude complexe
:
u 2
U 0
ωt φ
+
(
)
cos
=
u 2
U 0 e jωt
=
u 2
Re U 0 e jωt
[
],
=
U 0 t
( )
U 0 e jφ .
=
U 0
U 0
U 0
=
f
U 0
( ).
arg
=
U 0 ,
1. Le module du nombre complexe
z = a + jb vaut :
On a les propriétés suivantes :
;
;
;
z
a 2 b 2
+ .
=
j 1
=
e jα 1
=
zz ′ z
z′
×
=
z
z ′
---- -
z
z′
------- .
=
U 0
U 0
E 0
1 LCw 2
–
(
) 2 RCw
(
) 2
+
---------------------------------------------------------------- - .
=
=
2. Un argument du nombre
complexe z = a + jb vaut :
si
si
On a les propriétés suivantes :
;
;
;
z
( )
arg
Arctan
b
a
-- -
=
a 0.
Ͼ
z
( )
arg
π
±
Arctan
b
a
-- -
+
=
a 0.
Ͻ
j
( )
arg
π
2
-- -
=
e jα
( )
arg
α
=
zz ′
( )
arg
z
( )
arg
z ′
( )
arg
+
=
z
z ′
---- -
arg
z
arg
z ′
( ).
arg
–
=
U 0
U 0
( )
arg
arg
–
=
1 LCω 2 .
–
j RCω j 1 LCω 2
–
(
)
–
[
] ,
π
2
-- - Artan
1 LCω 2
–
RCω
------------------------ -
.
–
f
–
p
2
-- - Arctan
1 LCw 2
–
RCw
------------------------ -
.
+
=
u 2
U 0
ωt ϕ
+
(
),
sin
=
ϕ
Artan
1 LCω 2
–
RCω
------------------------ -
.
=
Application 1
ω
ω 0
1
LC
------------ - .
=
=
LCω 0
2
1,
=
1 LCω 0
2
–
(
) jRCω 0
+
jRCω 0 ,
=
U 0
E 0
jRCω
--------------– j
E 0
R
-----L
C
---- .
=
=
U 0
U 0
j
E 0
R
-----L
C
---–
E 0
R
-----L
C
---- .
=
=
KA_MPSI.book Page 185 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23
Cours
B.2.3 - Solution réelle
• La solution particulière sinusoïdale
est la partie réelle
de la solution particulière complexe
:
avec
• D’après l’expression de l’amplitude complexe
l’amplitude réelle U 0 vaut
1 :
• Pour calculer la phase à l’origine des temps φ, on utilise les propriétés des
arguments des nombres complexes
2 . En écrivant l’amplitude complexe
comme le rapport de deux nombres, on a :
(dénominateur), car arg(E 0 ) = 0 (réel positif).
La partie réelle du dénominateur est
Comme son signe varie avec
les valeurs de la pulsation ω, elle ne permet pas d’aboutir à une formule unique
valable dans tous les cas. En revanche, la partie imaginaire RCω du dénominateur est toujours positive. On peut donc écrire le dénominateur sous la forme :
d’argument :
La phase à l’origine des temps φ vaut donc :
Remarque : on pourrait aussi écrire la solution u 2 sous la forme :
avec
L’amplitude réelle U 0 est le module de l’amplitude complexe
et la phase
à l’origine des temps φ est son argument :
et
Régime sinusoïdal permanent de la tension u C
On considère un circuit RLC série tel que la pulsation ω de la source de tension est égale à la pulsation propre ω 0 du circuit LC correspondant :
Écrire la solution réelle u 2 (t) du régime sinusoïdal permanent de la tension aux bornes du condensateur en fonction de R, L, C et E 0 .
Solution
• Comme
le dénominateur de l’amplitude complexe U 0 est alors :
soit :
• L’amplitude réelle U 0 est le module de l’amplitude complexe
:
u 2
U 0
ωt φ
+
(
)
cos
=
u 2
U 0 e jωt
=
u 2
Re U 0 e jωt
[
],
=
U 0 t
( )
U 0 e jφ .
=
U 0
U 0
U 0
=
f
U 0
( ).
arg
=
U 0 ,
1. Le module du nombre complexe
z = a + jb vaut :
On a les propriétés suivantes :
;
;
;
z
a 2 b 2
+ .
=
j 1
=
e jα 1
=
zz ′ z
z′
×
=
z
z ′
---- -
z
z′
------- .
=
U 0
U 0
E 0
1 LCw 2
–
(
) 2 RCw
(
) 2
+
---------------------------------------------------------------- - .
=
=
2. Un argument du nombre
complexe z = a + jb vaut :
si
si
On a les propriétés suivantes :
;
;
;
z
( )
arg
Arctan
b
a
-- -
=
a 0.
Ͼ
z
( )
arg
π
±
Arctan
b
a
-- -
+
=
a 0.
Ͻ
j
( )
arg
π
2
-- -
=
e jα
( )
arg
α
=
zz ′
( )
arg
z
( )
arg
z ′
( )
arg
+
=
z
z ′
---- -
arg
z
arg
z ′
( ).
arg
–
=
U 0
U 0
( )
arg
arg
–
=
1 LCω 2 .
–
j RCω j 1 LCω 2
–
(
)
–
[
] ,
π
2
-- - Artan
1 LCω 2
–
RCω
------------------------ -
.
–
f
–
p
2
-- - Arctan
1 LCw 2
–
RCw
------------------------ -
.
+
=
u 2
U 0
ωt ϕ
+
(
),
sin
=
ϕ
Artan
1 LCω 2
–
RCω
------------------------ -
.
=
Application 1
ω
ω 0
1
LC
------------ - .
=
=
LCω 0
2
1,
=
1 LCω 0
2
–
(
) jRCω 0
+
jRCω 0 ,
=
U 0
E 0
jRCω
--------------– j
E 0
R
-----L
C
---- .
=
=
U 0
U 0
j
E 0
R
-----L
C
---–
E 0
R
-----L
C
---- .
=
=
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