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Chapitre 6 : Étude du circuit RLC série : résonance
B.2. Utilisation des nombres complexes
B.2.1 - Équation différentielle complexe
• On considère les équations différentielles du second ordre à coefficients
constants avec second membre sinusoïdal notées (1) et (2) :
(1)
(2)
Elles admettent respectivement les solutions particulières sinusoïdales 1 :
(équation 1) et
(équation 2),
où les valeurs de U 0 et φ sont déterminées à partir des données du problème.
• En effectuant la combinaison linéaire (1) + j(2), on obtient l’équation différentielle complexe :
soit en posant
et
:
D’après ce qui précède, cette équation admet pour solution particulière la
fonction complexe
2 :
que l’on peut écrire plus simplement 3 :
où
est l’amplitude complexe.
B.2.2 - Solution complexe
D’après les propriétés de dérivation des complexes (cf. chapitre 5), on a :
et
d’où :
La solution particulière
de l’équation différentielle complexe a donc pour
expression 4 :
Comme
l’amplitude complexe
s’écrit :
La solution particulière sinusoïdale u 2 est la partie réelle de la solution particulière
de l’équation différentielle complexe associée à l’équation différentielle réelle :
avec
LC
d 2 u 2
dt 2
------------ RC
du 2
dt
--------- - u 2
+
+
E 0
ωt
( )
cos
=
LC
d 2 u 2 ′
dt 2
------------- - RC
du 2 ′
dt
----------- u 2 ′
+
+
E 0
ωt
( )
sin
=
1. On admettra ce résultat.
u 2 t
( ) U 0
ωt φ
+
(
)
cos
=
u 2 ′ t
( ) U 0
ωt φ
+
(
)
sin
=
LC
d 2
dt 2
-------- u 2 ju 2 ′
+
(
) RC
d
dt
----- - u 2 ju 2 ′
+
(
)
u 2 ju 2 ′
+
(
)
+
+
E 0
ωt
( )
cos
j
ωt
( )
sin
+
[
] ,
=
u 2 u 2 ju 2 ′
+
=
E t
( )
E 0
ωt
( )
cos
j
ωt
( )
sin
+
E 0 e jωt
=
=
LC
d 2 u 2
dt 2
------------ - RC
du 2
dt
---------- u 2
+
+
E t
( )
E 0 e jwt .
=
=
2. On a :
et
.
u 2
Re u 2
( )
=
u 2 ′ Im u 2
( )
=
u 2 t
( )
u 2 t
( ) ju 2 ′ t
( )
+
U 0
ωt φ
+
(
)
cos
jU 0
ωt φ
+
(
),
sin
+
=
=
3. Dans cette écriture, U 0 est
le module du complexe
et φ est son argument
.
U 0
U 0 U 0
=
(
)
φ =
U 0
( )
arg
u 2 t
( )
U 0 e j ωt φ
+
(
)
U 0 e jωt ,
=
=
U 0
U 0 e jφ
=
u 2
u 2
U 0
wt f
+
(
)
cos
Re u 2 t
( )
[
],
=
=
u 2 t
( )
U 0 e jwt .
=
du 2
dt
--------- -
jωu 2
=
d 2 u 2
dt 2
-----------– ω 2 u 2 ,
=
LCω 2 u 2
–
jRCωu 2 u 2
+
+
E 0 e jωt .
=
u 2
4. L’intérêt d’utiliser les nombres
complexes pour simplifier les
calculs apparaît ici de manière
évidente.
u 2
E 0 e jωt
LCω 2
–
jRCω 1
+
+
--------------------------------------------------- - .
=
u 2 t
( )
U 0 e jωt ,
=
U 0
U 0
E 0
LCw 2
–
jRCw 1
+
+
----------------------------------------------------- .
=
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