183
Cours
La solution de l’équation différentielle précédente est la somme :
– de la solution générale u 1 de l’équation homogène :
;
– d’une solution particulière u 2 de l’équation.
B.1.2 - Solution de l’équation homogène :
régime transitoire
La résolution de l’équation homogène a déjà été effectuée au chapitre 4
(cf. § C.2.3 et § C.2.5). On obtient le polynôme caractéristique en r :
Ce polynôme admet deux racines réelles négatives, éventuellement confondues, ou deux racines complexes conjuguées à partie réelle négative. Les solutions de l’équation homogène tendent donc toujours à s’annuler avec le
temps
1 .
B.1.3 - Solution particulière sinusoïdale :
régime sinusoïdal permanent
Comme le second membre de l’équation est une fonction sinusoïdale, on
cherche comme solution particulière une fonction sinusoïdale de la forme
2 :
où ω est la pulsation du signal.
L’amplitude U 0 et la phase à l’origine φ dépendent des données R, L, C, E 0
et ω du problème. Leurs expressions seront déterminées dans le prochain
paragraphe en utilisant les nombres complexes.
B.1.4 - Conditions de continuité
La tension u C aux bornes du condensateur et l’intensité i du courant dans
l’inductance sont continues. À l’instant
les conditions initiales sur la
tension et l’intensité s’écrivent donc
3 :
et
Comme
la condition
équivaut à :
Les deux conditions initiales permettant de résoudre le problème sont :
et
Il est à noter que les conditions de continuité s’appliquent à la solution de
l’équation complète. Une erreur classique consiste cependant à ne les appliquer qu’à la seule solution de l’équation homogène.
La solution de l’équation homogène constitue le régime transitoire d’évolution de la tension u C .
La solution particulière sinusoïdale de l’équation différentielle constitue le
régime sinusoïdal permanent d’évolution de la tension u C . Ce régime s’installe lorsque le régime transitoire s’annule.
LC
d 2 u 1
dt 2
------------ RC
du 1
dt
--------- - u 1
+
+
0
=
LCr 2 RCr 1
+
+
0.
=
1. Elles correspondent
respectivement au régime
apériodique, au régime critique et
au régime pseudo-périodique.
2. Lorsque le second membre de
l’équation différentielle est une
fonction sinusoïdale, elle admet
pour solution particulière une
fonction sinusoïdale de même
pulsation.
u 2 t
( )
U 0
wt f
+
(
),
cos
=
t
0,
=
3. L’équation différentielle étant
du second ordre, il faut connaître
deux conditions initiales pour
déterminer les deux constantes
d’intégration :
– continuité de u C à t = 0 ;
– continuité de i à t = 0.
u C t 0
=
(
)
0
=
i t 0
=
(
)
0.
=
i
C
du C
dt
---------- - ,
=
i t 0
=
(
)
0
=
du C
dt
---------- - t 0
=
(
)
0.
=
u C t 0
=
(
)
0
=
du C
dt
----------- t 0
=
(
)
0.
=
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Cours
La solution de l’équation différentielle précédente est la somme :
– de la solution générale u 1 de l’équation homogène :
;
– d’une solution particulière u 2 de l’équation.
B.1.2 - Solution de l’équation homogène :
régime transitoire
La résolution de l’équation homogène a déjà été effectuée au chapitre 4
(cf. § C.2.3 et § C.2.5). On obtient le polynôme caractéristique en r :
Ce polynôme admet deux racines réelles négatives, éventuellement confondues, ou deux racines complexes conjuguées à partie réelle négative. Les solutions de l’équation homogène tendent donc toujours à s’annuler avec le
temps
1 .
B.1.3 - Solution particulière sinusoïdale :
régime sinusoïdal permanent
Comme le second membre de l’équation est une fonction sinusoïdale, on
cherche comme solution particulière une fonction sinusoïdale de la forme
2 :
où ω est la pulsation du signal.
L’amplitude U 0 et la phase à l’origine φ dépendent des données R, L, C, E 0
et ω du problème. Leurs expressions seront déterminées dans le prochain
paragraphe en utilisant les nombres complexes.
B.1.4 - Conditions de continuité
La tension u C aux bornes du condensateur et l’intensité i du courant dans
l’inductance sont continues. À l’instant
les conditions initiales sur la
tension et l’intensité s’écrivent donc
3 :
et
Comme
la condition
équivaut à :
Les deux conditions initiales permettant de résoudre le problème sont :
et
Il est à noter que les conditions de continuité s’appliquent à la solution de
l’équation complète. Une erreur classique consiste cependant à ne les appliquer qu’à la seule solution de l’équation homogène.
La solution de l’équation homogène constitue le régime transitoire d’évolution de la tension u C .
La solution particulière sinusoïdale de l’équation différentielle constitue le
régime sinusoïdal permanent d’évolution de la tension u C . Ce régime s’installe lorsque le régime transitoire s’annule.
LC
d 2 u 1
dt 2
------------ RC
du 1
dt
--------- - u 1
+
+
0
=
LCr 2 RCr 1
+
+
0.
=
1. Elles correspondent
respectivement au régime
apériodique, au régime critique et
au régime pseudo-périodique.
2. Lorsque le second membre de
l’équation différentielle est une
fonction sinusoïdale, elle admet
pour solution particulière une
fonction sinusoïdale de même
pulsation.
u 2 t
( )
U 0
wt f
+
(
),
cos
=
t
0,
=
3. L’équation différentielle étant
du second ordre, il faut connaître
deux conditions initiales pour
déterminer les deux constantes
d’intégration :
– continuité de u C à t = 0 ;
– continuité de i à t = 0.
u C t 0
=
(
)
0
=
i t 0
=
(
)
0.
=
i
C
du C
dt
---------- - ,
=
i t 0
=
(
)
0
=
du C
dt
---------- - t 0
=
(
)
0.
=
u C t 0
=
(
)
0
=
du C
dt
----------- t 0
=
(
)
0.
=
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