182
Chapitre 6 : Étude du circuit RLC série : résonance
A. Observations expérimentales
A.1. Montage expérimental
Le montage permettant d’observer le régime permanent sinusoïdal est constitué d’une bobine d’inductance L, d’un conducteur ohmique de résistance R
(incluant éventuellement la résistance r de la bobine) et d’un condensateur de
capacité C montés en série.
Le circuit est alimenté par un générateur idéal de tension sinusoïdale de fém
E(t) = E 0 cos(ω t), relié au circuit RLC par un interrupteur K (fig. 1). Pour
le condensateur est déchargé et l’interrupteur K est ouvert. À l’instant
on
ferme l’interrupteur : le générateur débite alors un courant dans le circuit.
A.2. Observation de la tension aux bornes
du condensateur
On étudie l’évolution de la tension u C aux bornes du condensateur au cours
du temps grâce à un oscilloscope ou à un système d’acquisition de données
relié à l’ordinateur. Afin d’éviter le court-circuit par les masses, on relie une
des bornes du condensateur à la masse du générateur, et donc à celle de
l’oscilloscope ou du système d’acquisition (fig. 2).
On visualise le signal appliqué au circuit RLC sur la voie Y 1 et la tension u C (t)
aux bornes du condensateur sur la voie Y 2 . Le déclenchement de l’acquisition
se fait sur la voie 1 lorsque le signal passe à une valeur non nulle afin d’observer le régime transitoire au début de l’acquisition (par exemple, avec un
oscilloscope à mémoire). Le régime sinusoïdal permanent est observé à
l’oscilloscope avec synchronisation sur la voie 1.
A.3. Observation du courant dans le circuit
Pour étudier l’évolution de l’intensité i du courant dans le circuit au cours du
temps, on observe la tension aux bornes de la résistance R
Par rapport au montage précédent, il suffit d’intervertir le condensateur et le conducteur ohmique (fig. 3).
B. Étude de la tension u C
B.1. Régime transitoire – Régime permanent
B.1.1 - Équation différentielle vérifiée par u C
Pour
la tension aux bornes de l’interrupteur K est nulle et la loi d’addition des tensions s’écrit :
avec
et
La tension u C aux bornes du condensateur d’un circuit RLC série soumis à
la tension sinusoïdale
vérifie l’équation différentielle du
second ordre à coefficients constants avec second membre :
Fig. 1 - Schéma du montage
expérimental.
K
i
u R
u L
u C
R
E(t)
L
C
t 0,
Ͻ
t
0,
=
Fig. 2 - Branchements des voies
Y 1 et Y 2 sur le circuit pour visualiser
simultanément E(t ) et u C (t).
K
i
u C
R
E(t)
Y 1
Y 2
L
C
u R Ri
=
(
).
Fig. 3 - Branchements des
voies Y 1 et Y 2 sur le circuit pour
visualiser E(t ) et i (t).
K
i
u R
E(t)
Y 1
Y 2
L
R
C
t 0,
Ͼ
E t
( )
u R u L u C ,
+
+
=
u R
RC
du C
dt
---------- -
=
u L
LC
d 2 u C
dt 2
------------- .
=
E t
( )
E 0
ωt
( )
cos
=
LC
d 2 u C
dt 2
------------- - RC
du C
dt
----------- u C
+
+
E 0
wt
( ).
cos
=
KA_MPSI.book Page 182 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23
Chapitre 6 : Étude du circuit RLC série : résonance
A. Observations expérimentales
A.1. Montage expérimental
Le montage permettant d’observer le régime permanent sinusoïdal est constitué d’une bobine d’inductance L, d’un conducteur ohmique de résistance R
(incluant éventuellement la résistance r de la bobine) et d’un condensateur de
capacité C montés en série.
Le circuit est alimenté par un générateur idéal de tension sinusoïdale de fém
E(t) = E 0 cos(ω t), relié au circuit RLC par un interrupteur K (fig. 1). Pour
le condensateur est déchargé et l’interrupteur K est ouvert. À l’instant
on
ferme l’interrupteur : le générateur débite alors un courant dans le circuit.
A.2. Observation de la tension aux bornes
du condensateur
On étudie l’évolution de la tension u C aux bornes du condensateur au cours
du temps grâce à un oscilloscope ou à un système d’acquisition de données
relié à l’ordinateur. Afin d’éviter le court-circuit par les masses, on relie une
des bornes du condensateur à la masse du générateur, et donc à celle de
l’oscilloscope ou du système d’acquisition (fig. 2).
On visualise le signal appliqué au circuit RLC sur la voie Y 1 et la tension u C (t)
aux bornes du condensateur sur la voie Y 2 . Le déclenchement de l’acquisition
se fait sur la voie 1 lorsque le signal passe à une valeur non nulle afin d’observer le régime transitoire au début de l’acquisition (par exemple, avec un
oscilloscope à mémoire). Le régime sinusoïdal permanent est observé à
l’oscilloscope avec synchronisation sur la voie 1.
A.3. Observation du courant dans le circuit
Pour étudier l’évolution de l’intensité i du courant dans le circuit au cours du
temps, on observe la tension aux bornes de la résistance R
Par rapport au montage précédent, il suffit d’intervertir le condensateur et le conducteur ohmique (fig. 3).
B. Étude de la tension u C
B.1. Régime transitoire – Régime permanent
B.1.1 - Équation différentielle vérifiée par u C
Pour
la tension aux bornes de l’interrupteur K est nulle et la loi d’addition des tensions s’écrit :
avec
et
La tension u C aux bornes du condensateur d’un circuit RLC série soumis à
la tension sinusoïdale
vérifie l’équation différentielle du
second ordre à coefficients constants avec second membre :
Fig. 1 - Schéma du montage
expérimental.
K
i
u R
u L
u C
R
E(t)
L
C
t 0,
Ͻ
t
0,
=
Fig. 2 - Branchements des voies
Y 1 et Y 2 sur le circuit pour visualiser
simultanément E(t ) et u C (t).
K
i
u C
R
E(t)
Y 1
Y 2
L
C
u R Ri
=
(
).
Fig. 3 - Branchements des
voies Y 1 et Y 2 sur le circuit pour
visualiser E(t ) et i (t).
K
i
u R
E(t)
Y 1
Y 2
L
R
C
t 0,
Ͼ
E t
( )
u R u L u C ,
+
+
=
u R
RC
du C
dt
---------- -
=
u L
LC
d 2 u C
dt 2
------------- .
=
E t
( )
E 0
ωt
( )
cos
=
LC
d 2 u C
dt 2
------------- - RC
du C
dt
----------- u C
+
+
E 0
wt
( ).
cos
=
KA_MPSI.book Page 182 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23