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Chapitre 5 : Signaux sinusoïdaux
A.3.2 - Dérivation et intégration
Soit le signal sinusoïdal
représenté par le complexe
que l’on peut aussi écrire
En dérivant ces deux expressions de
par rapport au temps, on obtient donc :
et
Addition de deux signaux de même fréquence
On considère les signaux sinusoïdaux
et
En utilisant les
représentations complexes, calculer la somme
Préciser l’amplitude et la phase
à l’origine de ce signal.
Solution
Les représentations complexes des signaux S 1 et S 2 s’écrivent :
et
car
La somme
admet donc pour représentation complexe :
car
Le complexe
a pour module
et pour argument
D’où :
soit :
Le signal réel S(t) est la partie réelle du complexe
:
L’amplitude du signal vaut
et la phase à l’origine des temps est
Soit le signal sinusoïdal
représenté par le complexe
La dérivée par rapport au temps de S s’écrit :
avec
Application 1
S 1 t
( )
S 0 cos ωt
( )
=
S 2 t
( )
S 0
ωt
( ).
sin
=
S t
( )
S 1 t
( ) S 2 t
( ).
+
=
S 1 t
( )
S 0 e jωt
=
S 2
S 0 e
j ωt
π
2
-- -
–




,
=
sin ωt
( )
cos ωt
π
2
-- -
–



 .
=
S t
( )
S 1 t
( ) S 2 t
( )
+
=
S t
( )
S 1 t
( ) S 2 t
( )
+
S 0 e jωt 1 j
–
[
],
=
=
e
j
π
2
-- -
–
j.
–
=
1 j
–
2
π
4
-- - .
–
1 j
–
2e
j
π
4
-- -
–
,
=
S t
( )
S 0 e jωt
2
×
e
j
π
4
-- -
–
S 0 2e
j ωt
π
4
-- -
–




.
=
=
S t
( )
S t
( )
Re S 0 2e
j ωt
π
4
-- -
–




S 0 2cos ωt
π
4
-- -
–



 .
=
=
S 0 2
p
4
-- - .
–
0
S 0 2
S 0 2
–
S
S 1
S 2
S 0
–S 0
π
2ω
------π
ω
--- -
3π
2ω
------2π
ω
-----t s
( )
S t
( )
S 0 cos ωt φ
+
(
)
=
S t
( )
S 0 e jωt ,
=
S t
( )
S t
( ) jIm S t
( )
[
].
+
=
S t
( )
dS
dt
------jωS 0 e jωt
jωS t
( )
=
=
dS
dt
------dS
dt
------ - j
dIm S
[ ]
dt
-------------------- - .
+
=
S t
( )
S 0 cos ωt φ
+
(
)
=
S t
( ).
dS
dt
------- -
Re
dS
dt
------- - ,
=
dS
dt
------jωS.
=
KA_MPSI.book Page 168 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23