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Cours
• Phase du signal – Phase à l’origine
La grandeur
exprimée en radian (rad), s’appelle la phase du signal.
Le nombre φ, compris entre – π et π, est la phase à l’origine des temps
A.2. Analyse de Fourier d’un signal périodique
L’étude des signaux sinusoïdaux revêt un grand intérêt, car un signal périodique quelconque de fréquence f 0 peut toujours être décomposé en une
somme (finie ou infinie) de signaux sinusoïdaux de fréquences f n (n est un
entier naturel), appelée série de Fourier. Dans ce développement :
– la fréquence
correspond au fondamental
;
– la fréquence
correspond à l’harmonique d’ordre n
Les amplitudes A n des signaux sinusoïdaux sont liées à l’amplitude A 0 du
signal périodique. Les logiciels actuels permettent de décomposer très rapidement les signaux en leur série de Fourier
1 .
Exemple :
Un signal carré de période T 0 et d’amplitude A 0 (fig. 3) peut être décomposé
de la façon suivante :
– Fondamental :
fréquence
; amplitude
– Harmoniques impaires
:
fréquence
;
amplitude
– Harmoniques paires
:
fréquence
;
amplitude
A.3. Notations complexes
A.3.1 - Représentation complexe d’un signal sinusoïdal
Considérons le signal sinusoïdal S tel que :
En passant à une écriture complexe
2 , ce signal peut aussi s’écrire :
avec
Un signal sinusoïdal peut donc être représenté par une grandeur complexe 3 .
L’amplitude S 0 du signal est le module :
La phase (ωt + φ) du
signal est l’argument 4 :
Le passage à l’écriture complexe permet très souvent de simplifier techniquement les calculs.
L’écriture complexe de la grandeur sinusoïdale
est :
avec
est l’amplitude complexe du signal S : son module est l’amplitude réelle S 0
; son argument est la phase à l’origine des temps
ωt φ
+
(
),
t 0
=
(
).
f 1
f 0
=
n 1
=
(
)
f n
n f 0
=
n 1
Ͼ
(
).
1. Le calcul analytique des
coefficients du développement en
série de Fourier sera traité dans le
cours de mathématiques de
deuxième année.
Fig. 3 - Signal carré de période
T 0 et d’amplitude A 0 .
S
A 0
T 0
t (s)
0
f 1
f 0
1
T 0
------ -
=
=
A 1
4
π
-- - A 0 .
=
n 2p 1
+
=
(
)
f n
n f 0
=
A n
A 1
n
------ .
=
n 2p
=
(
)
f n
n f 0
=
A n
0.
=
2. En électrocinétique, on utilise le
nombre complexe j (tel que j
2 = –1)
plutôt que le nombre i (pour ne pas
introduire de confusion avec
l’intensité du courant i ).
S t
( )
S 0
ωt φ
+
(
).
cos
=
S t
( )
Re S t
( )
[
],
=
S t
( )
S 0 e j ωt φ
+
(
) .
=
3. On a :
S t
( )
S t
( ) jIm S t
( )
(
)
+
=
S 0
S t
( ) .
=
4. On écrit parfois :
ωt φ
+
S t
( ).
∠
=
ωt φ
+
arg S t
( )
(
).
=
S t
( )
S 0
ωt φ
+
(
)
cos
=
S t
( )
S 0 e j wt f
+
(
)
S 0 e jwt ,
=
=
S 0
S 0 e jφ .
=
S 0
S 0
S 0
=
(
)
φ arg S 0
( )
=
(
) .
KA_MPSI.book Page 167 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23