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Chapitre 5 : Signaux sinusoïdaux
A. Description des signaux
sinusoïdaux
A.1. Écriture d’un signal sinusoïdal
A.1.1 - Exemple : circuit RLC série non amorti
Considérons la charge du condensateur d’un circuit RLC série soumis à un
échelon de tension E étudiée au chapitre 4 (voir § C). En régime pseudopériodique, la tension u C aux bornes du condensateur a pour expression
(voir § C.2.5) :
où α est le coefficient d’amortissement du circuit. Si α est nul
1 , alors les oscillations du circuit ne sont pas amorties et on a :
avec ω 0 pulsation propre
2 .
La tension u C aux bornes du condensateur s’écrit alors comme la différence de
deux termes (fig. 1) :
– une tension continue E ;
– une tension sinusoïdale Ecos(ω 0 t).
A.1.2 - Caractéristiques d’un signal sinusoïdal
• Amplitude du signal – Valeur efficace
– La grandeur S 0 correspond à la valeur maximale du signal au cours du
temps : on l’appelle l’amplitude du signal (elle s’exprime dans la même unité
que le signal).
– On définit aussi la valeur efficace S eff liée au signal sinusoïdal S par le rapport
4 :
où S 0 est l’amplitude du signal.
• Pulsation – Période – Fréquence
– La grandeur ω, exprimée en s –1 (ou en rad · s
–1 ), s’appelle la pulsation du signal.
– La période T du signal, exprimée en seconde (s), correspond à la durée
d’une oscillation complète : on a donc
– La fréquence f du signal, exprimée en hertz (Hz), est par définition l’inverse
de la période T (en s).
Définition 1
Le signal électrique S
3 est sinusoïdal si son évolution au cours du temps
peut s’écrire sous la forme (fig. 2) :
La pulsation ω, la période T et la fréquence f du signal sinusoïdal sont liées
par la relation :
(ou
).
Fig. 1 - Mise en évidence de
la composante continue et de
la composante sinusoïdale.
u C (V)
0
E
2E
2π
ω 0
-----t (s)
–E
u C t
( )
E 1 e
αω 0 t
–
ω 0 1 α 2
–
t
(
)
λ
ω 0 1 α 2
–
-------------------------ω 0 1 α 2
–
t
(
)
sin
+
cos
–
=
1. Ce qui équivaut à R = 0, donc
au cas d’un circuit LC série.
2. On rappelle que la pulsation
propre ω 0 vaut :
ω 0
1
LC
--------- -.
=
u C t
( )
E 1
ω 0 t
(
)
cos
–
[
] ,
=
3. Le signal S peut être une
tension ou une intensité.
Fig. 2 - Représentation d’un
signal sinusoïdal.
t (s)
S 0
S 0 cosφ
S
2π
ω
-----–S 0
0
S t
( )
S 0
wt f
+
(
)
cos
.
=
4. Nous verrons dans un prochain
chapitre une définition énergétique
de la valeur efficace S eff .
S eff
S 0
2
------ - ,
=
S t T
+
(
)
S t
( ).
=
T
2p
w
-----1
f
-- -
=
=
f
ω
2π
-----1
T
--- -
=
=
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Chapitre 5 : Signaux sinusoïdaux
A. Description des signaux
sinusoïdaux
A.1. Écriture d’un signal sinusoïdal
A.1.1 - Exemple : circuit RLC série non amorti
Considérons la charge du condensateur d’un circuit RLC série soumis à un
échelon de tension E étudiée au chapitre 4 (voir § C). En régime pseudopériodique, la tension u C aux bornes du condensateur a pour expression
(voir § C.2.5) :
où α est le coefficient d’amortissement du circuit. Si α est nul
1 , alors les oscillations du circuit ne sont pas amorties et on a :
avec ω 0 pulsation propre
2 .
La tension u C aux bornes du condensateur s’écrit alors comme la différence de
deux termes (fig. 1) :
– une tension continue E ;
– une tension sinusoïdale Ecos(ω 0 t).
A.1.2 - Caractéristiques d’un signal sinusoïdal
• Amplitude du signal – Valeur efficace
– La grandeur S 0 correspond à la valeur maximale du signal au cours du
temps : on l’appelle l’amplitude du signal (elle s’exprime dans la même unité
que le signal).
– On définit aussi la valeur efficace S eff liée au signal sinusoïdal S par le rapport
4 :
où S 0 est l’amplitude du signal.
• Pulsation – Période – Fréquence
– La grandeur ω, exprimée en s –1 (ou en rad · s
–1 ), s’appelle la pulsation du signal.
– La période T du signal, exprimée en seconde (s), correspond à la durée
d’une oscillation complète : on a donc
– La fréquence f du signal, exprimée en hertz (Hz), est par définition l’inverse
de la période T (en s).
Définition 1
Le signal électrique S
3 est sinusoïdal si son évolution au cours du temps
peut s’écrire sous la forme (fig. 2) :
La pulsation ω, la période T et la fréquence f du signal sinusoïdal sont liées
par la relation :
(ou
).
Fig. 1 - Mise en évidence de
la composante continue et de
la composante sinusoïdale.
u C (V)
0
E
2E
2π
ω 0
-----t (s)
–E
u C t
( )
E 1 e
αω 0 t
–
ω 0 1 α 2
–
t
(
)
λ
ω 0 1 α 2
–
-------------------------ω 0 1 α 2
–
t
(
)
sin
+
cos
–
=
1. Ce qui équivaut à R = 0, donc
au cas d’un circuit LC série.
2. On rappelle que la pulsation
propre ω 0 vaut :
ω 0
1
LC
--------- -.
=
u C t
( )
E 1
ω 0 t
(
)
cos
–
[
] ,
=
3. Le signal S peut être une
tension ou une intensité.
Fig. 2 - Représentation d’un
signal sinusoïdal.
t (s)
S 0
S 0 cosφ
S
2π
ω
-----–S 0
0
S t
( )
S 0
wt f
+
(
)
cos
.
=
4. Nous verrons dans un prochain
chapitre une définition énergétique
de la valeur efficace S eff .
S eff
S 0
2
------ - ,
=
S t T
+
(
)
S t
( ).
=
T
2p
w
-----1
f
-- -
=
=
f
ω
2π
-----1
T
--- -
=
=
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