Exercices
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Exercice 21
1) • L’équation différentielle d’établissement du courant dans la bobine est :
avec
Compte tenu des conditions initiales
on obtient donc :
• La valeur limite de i est
Elle est atteinte à 5 % près à l’instant t tel que :
soit :
Le régime permanent est établi à 5 % près au bout de 3 τ .
2) a) • Si
, on a :
d’où :
• Si
, on a :
d’où :
Cette question est analogue à la question a) de l’exercice 19.
b) D’après les équations différentielles écrites à la question présente, l’intensité i a la forme :
– d’une exponentielle croissante sur la demi-période
;
– d’une exponentielle décroissante sur la demi-période
.
La première demi-période correspond à l’établissement du courant dans la bobine, la seconde à l’arrêt du courant
dans la bobine.
L’allure de l’évolution de
sur les quatre premières périodes est représentée ci-dessous :
c) On se place maintenant en régime périodique permanent. L’intensité du courant varie entre les
valeurs I m et I M au cours d’une période T.
• Si
, la solution de l’équation différentielle posée à la question 2) a) est :
avec
On tient compte dans l’expression de i du décalage temporel n T.
L
R
--- -
di
dt
---- - i
+
E
R
--- -,
=
τ
L
R
--- - .
=
i 0
( ) 0
=
(
) ,
i
E
R
---- 1 e
t
t
-–
–



 .
=
E
R
--- - .
0,95
E
R
--- -
E
R
--- - 1 e
t
τ
-–
–



 ,
=
t
τ 0,05
(
)
ln
–
3t.
≈
=
t
nT ; n T
T
2
--- -
+
∈
e t
( )
E,
=
L
R
---di
dt
----- - i
+
E
R
---- .
=
t
nT
T
2
--- - ; n T T
+
+
∈
e t
( )
0,
=
L
R
---di
dt
----- - i
+
0.
=
nT ; n T
T
2
--- -
+
nT
T
2
--- - ; n 1
+
(
) T
+
i t
( )
0
t
i
E
R
--- -
T
2
--- -
T 3T
2
------- -
2T 5T
2
------- -
3T 7T
2
------- -
4T
t
nT ; n T
T
2
--- -
+
∈
i t
( )
E
R
--- - Ae
t nT
–
(
)
τ
-------------------–
,
+
=
τ
L
R
--- - .
=
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