Exercices
159
Le circuit comporte deux mailles indépendantes. On en déduit le système ci-dessous :
On reporte les égalités (1) et (3) dans l’égalité (2) :
On reporte l’égalité (3) dans l’expression précédente :
ou
On applique la méthode n° 1 au circuit étudié.
• La solution particulière constante est :
Le polynôme caractéristique associé à l’équation sans second membre s’écrit :
avec
Le polynôme admet deux racines réelles :
et
En régime apériodique, la solution générale de l’équation différentielle est de la forme :
On détermine les constantes A et B grâce aux conditions initiales :
On en déduit donc :
La loi d’évolution de la tension u s’écrit alors :
• L’équation différentielle vérifiée par u est :
Par identification avec l’expression en variables réduites, on obtient :
et
soit :
En variables réduites, on a :
E
Ri v
(2)
+
=
v
RC
du
dt
------ u (3)
+
=
E
RC
dv
dt
-----du
dt
-----+
RC
du
dt
------ u
+
.
+
=
E
R 2 C 2 d 2 u
dt 2
--------- 3RC
du
dt
------ u
+
+
=
d 2 u
dt 2
--------3
τ
-- -
du
dt
-----u
τ 2
---- -
+
+
E
τ 2
---- - .
=
u 2 t
( )
E.
=
r 2 3
τ
-- -r
1
τ 2
---- -
+ +
0,
=
∆
5
τ 2
---- - 0.
Ͼ
=
r 1
– 3
5
+
2τ
-------------------- -
=
r 2
– 3
5
–
2τ
-------------------- .
=
u t
( )
E Ae
r 1 t
Be
r 2 t .
+
+
=
u 0
( )
0 E A B
+ +
⇒
0.
=
=
du
dt
------ 0
( )
1
RC
-------- - v 0
( ) u 0
( )
–
(
)
0 Ar 1 Br 2
+
⇒
0.
=
=
=
A
r 2
r 1 r 2
–
-------------- -E
5 3 5
+
10
-------------------- E
–
=
=
B
r 1
r 1 r 2
–
-------------- -
–
E
3 5 5
–
10
------------------- -E.
=
=
u t
( )
E 1
5 3 5
+
10
------------------- -
– 3
5
+
2t
--------------------t
3 5 5
–
10
------------------3
5
+
2t
---------------–
t
exp
+
exp
–
.
=
d 2 u
dt 2
--------3
RC
-------- -
du
dt
-----u
R 2 C 2
-------------+
+
E
R 2 C 2
--------------.
=
ω 0
Q
-----3
RC
-------- -
=
ω 0
2
1
R 2 C 2
--------------,
=
Q
1
3
-- - .
=
d 2 u
dt 2
------- -
ω 0
Q
----- -
du
dt
----- - ω 0
2 u
+
+
ω 0
2 E.
=
KA_MPSI.book Page 159 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23
159
Le circuit comporte deux mailles indépendantes. On en déduit le système ci-dessous :
On reporte les égalités (1) et (3) dans l’égalité (2) :
On reporte l’égalité (3) dans l’expression précédente :
ou
On applique la méthode n° 1 au circuit étudié.
• La solution particulière constante est :
Le polynôme caractéristique associé à l’équation sans second membre s’écrit :
avec
Le polynôme admet deux racines réelles :
et
En régime apériodique, la solution générale de l’équation différentielle est de la forme :
On détermine les constantes A et B grâce aux conditions initiales :
On en déduit donc :
La loi d’évolution de la tension u s’écrit alors :
• L’équation différentielle vérifiée par u est :
Par identification avec l’expression en variables réduites, on obtient :
et
soit :
En variables réduites, on a :
E
Ri v
(2)
+
=
v
RC
du
dt
------ u (3)
+
=
E
RC
dv
dt
-----du
dt
-----+
RC
du
dt
------ u
+
.
+
=
E
R 2 C 2 d 2 u
dt 2
--------- 3RC
du
dt
------ u
+
+
=
d 2 u
dt 2
--------3
τ
-- -
du
dt
-----u
τ 2
---- -
+
+
E
τ 2
---- - .
=
u 2 t
( )
E.
=
r 2 3
τ
-- -r
1
τ 2
---- -
+ +
0,
=
∆
5
τ 2
---- - 0.
Ͼ
=
r 1
– 3
5
+
2τ
-------------------- -
=
r 2
– 3
5
–
2τ
-------------------- .
=
u t
( )
E Ae
r 1 t
Be
r 2 t .
+
+
=
u 0
( )
0 E A B
+ +
⇒
0.
=
=
du
dt
------ 0
( )
1
RC
-------- - v 0
( ) u 0
( )
–
(
)
0 Ar 1 Br 2
+
⇒
0.
=
=
=
A
r 2
r 1 r 2
–
-------------- -E
5 3 5
+
10
-------------------- E
–
=
=
B
r 1
r 1 r 2
–
-------------- -
–
E
3 5 5
–
10
------------------- -E.
=
=
u t
( )
E 1
5 3 5
+
10
------------------- -
– 3
5
+
2t
--------------------t
3 5 5
–
10
------------------3
5
+
2t
---------------–
t
exp
+
exp
–
.
=
d 2 u
dt 2
--------3
RC
-------- -
du
dt
-----u
R 2 C 2
-------------+
+
E
R 2 C 2
--------------.
=
ω 0
Q
-----3
RC
-------- -
=
ω 0
2
1
R 2 C 2
--------------,
=
Q
1
3
-- - .
=
d 2 u
dt 2
------- -
ω 0
Q
----- -
du
dt
----- - ω 0
2 u
+
+
ω 0
2 E.
=
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