Exercices
157
b) Quand on ouvre K, le condensateur C se décharge dans la résistance
2R et la bobine L. L’équation vérifiée par u est alors :
ou
Le polynôme caractéristique est :
avec
et
En régime critique, la solution générale de l’équation différentielle est de la forme :
On détermine les constantes A et B grâce aux conditions initiales :
d’où :
La loi d’évolution de la tension u s’écrit donc :
Exercice 17
a) • La loi des nœuds donne la relation :
(1)
La loi des mailles donne la relation :
(2)
En reportant (1) dans (2), on a :
soit :
On applique la méthode n° 1 au circuit étudié.
• La solution particulière constante est :
L’équation sans second membre s’écrit :
de polynôme caractéristique :
avec
Le polynôme admet deux racines complexes conjuguées :
2R
u
L
i 1
C
LC
d 2 u
dt 2
--------- 2RC
du
dt
------ u
+
+
0
=
d 2 u
dt 2
--------2
τ
-- -
du
dt
-----u
τ 2
---- -
+
+
0.
=
r 2 2
τ
-- -r
1
τ 2
---- -
+ +
0,
=
∆
0
=
r
1
τ
-- -.
–
=
u t
( )
At B
+
(
)e
t
τ
-–
.
=
u 0
( )
E B
⇒
E
=
=
du
dt
------ 0
( )
i 1 0
( )
C
-----------–
E
RC
-------- -
A
B
τ
--- -
–
⇒
–
E
RC
-------- -,
–
=
=
=
A
0.
=
u t
( )
Ee
t
t
-–
.
=
i
C
du
dt
-----u
R
--- -
+
=
E
Ri L
di
dt
---- - u
+
+
=
E
RC
du
dt
------ u
+
L
R
--- - RC
d 2 u
dt 2
--------du
dt
-----+
u
+
+
τ 2 d 2 u
dt 2
--------- 2τ
du
dt
------ 2u,
+
+
=
=
d 2 u
dt 2
--------2
τ
-- -
du
dt
-----2
τ 2
---- -u
+
+
E
τ 2
---- - .
=
u 2 t
( )
E
2
--- - .
=
d 2 u
dt 2
--------2
τ
-- -
du
dt
-----2
τ 2
---- -u
+
+
0,
=
r 2 2
τ
-- -r
2
τ 2
---- -
+ +
0,
=
∆
4
τ 2
---- -
–
0.
Ͻ
=
r
1
τ
-- -
–
j
1
τ
-- - .
±
=
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157
b) Quand on ouvre K, le condensateur C se décharge dans la résistance
2R et la bobine L. L’équation vérifiée par u est alors :
ou
Le polynôme caractéristique est :
avec
et
En régime critique, la solution générale de l’équation différentielle est de la forme :
On détermine les constantes A et B grâce aux conditions initiales :
d’où :
La loi d’évolution de la tension u s’écrit donc :
Exercice 17
a) • La loi des nœuds donne la relation :
(1)
La loi des mailles donne la relation :
(2)
En reportant (1) dans (2), on a :
soit :
On applique la méthode n° 1 au circuit étudié.
• La solution particulière constante est :
L’équation sans second membre s’écrit :
de polynôme caractéristique :
avec
Le polynôme admet deux racines complexes conjuguées :
2R
u
L
i 1
C
LC
d 2 u
dt 2
--------- 2RC
du
dt
------ u
+
+
0
=
d 2 u
dt 2
--------2
τ
-- -
du
dt
-----u
τ 2
---- -
+
+
0.
=
r 2 2
τ
-- -r
1
τ 2
---- -
+ +
0,
=
∆
0
=
r
1
τ
-- -.
–
=
u t
( )
At B
+
(
)e
t
τ
-–
.
=
u 0
( )
E B
⇒
E
=
=
du
dt
------ 0
( )
i 1 0
( )
C
-----------–
E
RC
-------- -
A
B
τ
--- -
–
⇒
–
E
RC
-------- -,
–
=
=
=
A
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u t
( )
Ee
t
t
-–
.
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i
C
du
dt
-----u
R
--- -
+
=
E
Ri L
di
dt
---- - u
+
+
=
E
RC
du
dt
------ u
+
L
R
--- - RC
d 2 u
dt 2
--------du
dt
-----+
u
+
+
τ 2 d 2 u
dt 2
--------- 2τ
du
dt
------ 2u,
+
+
=
=
d 2 u
dt 2
--------2
τ
-- -
du
dt
-----2
τ 2
---- -u
+
+
E
τ 2
---- - .
=
u 2 t
( )
E
2
--- - .
=
d 2 u
dt 2
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τ
-- -
du
dt
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---- -u
+
+
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=
r 2 2
τ
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τ 2
---- -
+ +
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=
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–
0.
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r
1
τ
-- -
–
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