Chapitre 4 : Régimes transitoires
156
On a :
d’où :
Le polynôme caractéristique s’écrit alors :
avec
Le polynôme admet donc deux racines complexes conjuguées (régime pseudo-périodique) :
La solution générale de l’équation différentielle est de la forme :
On détermine les constantes A et B grâce aux conditions initiales :
d’où :
La loi d’évolution de la tension u s’écrit donc :
On en déduit la loi d’évolution de l’intensité i :
Exercice 16
a) • Le circuit RL contenant la bobine est soumis à l’échelon de tension E. Lors de l’établissement
du courant dans la bobine
on a donc :
avec
• Le circuit RC contenant le condensateur est soumis à l’échelon de tension E. Lors de la charge du
condensateur
on a donc :
avec
On en déduit l’expression de i 2 :
• On obtient alors l’intensité totale i d’après la loi des nœuds :
τ
RC
L
R
-- -,
=
=
LC
L
R
-- - RC
×
τ 2 .
=
=
r 2 r
τ
-1
τ 2
---- -
+ +
0,
=
∆
3
τ 2
---- -
–
0.
Ͻ
=
r
1
2τ
----- - j
3
2 τ
------ - .
±
–
=
u t
( )
e
t
2τ
----- -
–
A
3
2τ
------ -t
B
3
2τ
------ -t
sin
+
cos
.
=
u 0
( )
0 A
⇒
0.
=
=
du
dt
------ 0
( )
i 0
( )
C
--------- -
–
E
τ
--- -
–
3B
2τ
----------- -
E
τ
--- -,
–
=
⇒
=
=
B
2E
3
------–
.
=
u t
( )
2E
3
-------–
e
t
2t
----- -
–
3
2t
------ -t
.
sin
=
i t
( )
C
du
dt
-----–
E
R 3
----------- - e
t
2t
----- -
–
3
2t
------ -t
sin
–
3
3
2t
------ -t
cos
+
.
=
=
i 1 0
( ) 0
=
(
) ,
i 1 t
( )
E
R
---- 1 e
t
t
-–
–
,
=
τ
L
R
--- - .
=
u 0
( ) 0
=
(
) ,
u t
( )
E 1 e
t
t
-–
–
,
=
τ
RC.
=
i 2 t
( )
C
du 2
dt
-------- -
CE
τ
--------e
t
τ
-–
E
R
----e
t
t
-–
.
=
=
=
i t
( )
i 1 t
( ) i 2 t
( )
+
E
R
---- .
=
=
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On a :
d’où :
Le polynôme caractéristique s’écrit alors :
avec
Le polynôme admet donc deux racines complexes conjuguées (régime pseudo-périodique) :
La solution générale de l’équation différentielle est de la forme :
On détermine les constantes A et B grâce aux conditions initiales :
d’où :
La loi d’évolution de la tension u s’écrit donc :
On en déduit la loi d’évolution de l’intensité i :
Exercice 16
a) • Le circuit RL contenant la bobine est soumis à l’échelon de tension E. Lors de l’établissement
du courant dans la bobine
on a donc :
avec
• Le circuit RC contenant le condensateur est soumis à l’échelon de tension E. Lors de la charge du
condensateur
on a donc :
avec
On en déduit l’expression de i 2 :
• On obtient alors l’intensité totale i d’après la loi des nœuds :
τ
RC
L
R
-- -,
=
=
LC
L
R
-- - RC
×
τ 2 .
=
=
r 2 r
τ
-1
τ 2
---- -
+ +
0,
=
∆
3
τ 2
---- -
–
0.
Ͻ
=
r
1
2τ
----- - j
3
2 τ
------ - .
±
–
=
u t
( )
e
t
2τ
----- -
–
A
3
2τ
------ -t
B
3
2τ
------ -t
sin
+
cos
.
=
u 0
( )
0 A
⇒
0.
=
=
du
dt
------ 0
( )
i 0
( )
C
--------- -
–
E
τ
--- -
–
3B
2τ
----------- -
E
τ
--- -,
–
=
⇒
=
=
B
2E
3
------–
.
=
u t
( )
2E
3
-------–
e
t
2t
----- -
–
3
2t
------ -t
.
sin
=
i t
( )
C
du
dt
-----–
E
R 3
----------- - e
t
2t
----- -
–
3
2t
------ -t
sin
–
3
3
2t
------ -t
cos
+
.
=
=
i 1 0
( ) 0
=
(
) ,
i 1 t
( )
E
R
---- 1 e
t
t
-–
–
,
=
τ
L
R
--- - .
=
u 0
( ) 0
=
(
) ,
u t
( )
E 1 e
t
t
-–
–
,
=
τ
RC.
=
i 2 t
( )
C
du 2
dt
-------- -
CE
τ
--------e
t
τ
-–
E
R
----e
t
t
-–
.
=
=
=
i t
( )
i 1 t
( ) i 2 t
( )
+
E
R
---- .
=
=
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