Exercices
155
L’équation différentielle vérifiée par u s’écrit donc :
ou
avec
On applique la méthode n° 1 au circuit étudié.
• Le polynôme caractéristique est :
avec
Le polynôme admet donc deux racines complexes conjuguées (régime pseudo-périodique) :
La solution générale de l’équation différentielle est de la forme :
À l’instant
les conditions initiales sont :
et
D’après la loi des mailles :
d’où :
À l’instant t = 0, tout le courant débité par le générateur traverse la branche contenant le condensateur.
On peut ainsi déterminer les constantes A et B :
d’où : B = E.
La loi d’évolution de la tension u s’écrit donc :
La loi d’évolution de l’intensité i se déduit de l’égalité (4) :
En régime permanent, on a donc :
et
En régime permanent, la bobine se comporte comme un fil et court-circuite la branche contenant le condensateur.
Tout le courant débité par le générateur traverse donc la bobine.
b) À l’ouverture du circuit, on se ramène à l’étude d’un circuit RLC série
avec
(le condensateur est en convention générateur).
L’équation différentielle du second ordre vérifiée par la tension u est
donc :
ou
2t 2 d 2 u
dt 2
--------- - 2t
du
dt
------- u
+
+
0
=
d 2 u
dt 2
--------- -
1
t
-- -
du
dt
------u
2t 2
-------+
+
0,
=
τ
L
R
--- -
RC.
=
=
r 2 1
τ
-- -r
1
2τ 2
-------+ +
0,
=
∆
1
τ 2
---- - 0.
Ͻ
–
=
r
1
2τ
----- -
j
1
2 τ
----- - .
±
–
=
u t
( )
e
t
2τ
----- -
–
A
t
2τ
----- -
B
t
2τ
----- -
sin
+
cos
.
=
t
0,
=
u 0
( )
0
=
i 0
( )
0.
=
i 1 0
( )
E
2R
-------,
=
du
dt
------ 0
( )
i 1 0
( )
C
-----------E
2RC
-----------E
2τ
----- - .
=
=
=
u 0
( )
0 A
⇒
0.
=
=
du
dt
------ 0
( )
E
2τ
----- -
B
2τ
----- -
⇒
E
2τ
----- -,
=
=
u t
( )
Ee
t
2t
----- -
–
t
2t
----- -
.
sin
=
i t
( )
E
R
--- -
2τ
R
----- -
du
dt
-----–
u
R
--- -
–
E
R
---- 1 cos
t
2t
----- -
e
t
2t
----- -
–
–
.
=
=
u
0
=
I
E
R
---- .
=
R
C
u
i
L
i
C
du
dt
-----–
=
LC
d 2 u
dt 2
--------- RC
du
dt
------ u
+
+
0
=
d 2 u
dt 2
--------1
τ
-- -
du
dt
------ +
u
τ 2
---- -
+
0.
=
KA_MPSI.book Page 155 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23
155
L’équation différentielle vérifiée par u s’écrit donc :
ou
avec
On applique la méthode n° 1 au circuit étudié.
• Le polynôme caractéristique est :
avec
Le polynôme admet donc deux racines complexes conjuguées (régime pseudo-périodique) :
La solution générale de l’équation différentielle est de la forme :
À l’instant
les conditions initiales sont :
et
D’après la loi des mailles :
d’où :
À l’instant t = 0, tout le courant débité par le générateur traverse la branche contenant le condensateur.
On peut ainsi déterminer les constantes A et B :
d’où : B = E.
La loi d’évolution de la tension u s’écrit donc :
La loi d’évolution de l’intensité i se déduit de l’égalité (4) :
En régime permanent, on a donc :
et
En régime permanent, la bobine se comporte comme un fil et court-circuite la branche contenant le condensateur.
Tout le courant débité par le générateur traverse donc la bobine.
b) À l’ouverture du circuit, on se ramène à l’étude d’un circuit RLC série
avec
(le condensateur est en convention générateur).
L’équation différentielle du second ordre vérifiée par la tension u est
donc :
ou
2t 2 d 2 u
dt 2
--------- - 2t
du
dt
------- u
+
+
0
=
d 2 u
dt 2
--------- -
1
t
-- -
du
dt
------u
2t 2
-------+
+
0,
=
τ
L
R
--- -
RC.
=
=
r 2 1
τ
-- -r
1
2τ 2
-------+ +
0,
=
∆
1
τ 2
---- - 0.
Ͻ
–
=
r
1
2τ
----- -
j
1
2 τ
----- - .
±
–
=
u t
( )
e
t
2τ
----- -
–
A
t
2τ
----- -
B
t
2τ
----- -
sin
+
cos
.
=
t
0,
=
u 0
( )
0
=
i 0
( )
0.
=
i 1 0
( )
E
2R
-------,
=
du
dt
------ 0
( )
i 1 0
( )
C
-----------E
2RC
-----------E
2τ
----- - .
=
=
=
u 0
( )
0 A
⇒
0.
=
=
du
dt
------ 0
( )
E
2τ
----- -
B
2τ
----- -
⇒
E
2τ
----- -,
=
=
u t
( )
Ee
t
2t
----- -
–
t
2t
----- -
.
sin
=
i t
( )
E
R
--- -
2τ
R
----- -
du
dt
-----–
u
R
--- -
–
E
R
---- 1 cos
t
2t
----- -
e
t
2t
----- -
–
–
.
=
=
u
0
=
I
E
R
---- .
=
R
C
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i
L
i
C
du
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-----–
=
LC
d 2 u
dt 2
--------- RC
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------ u
+
+
0
=
d 2 u
dt 2
--------1
τ
-- -
du
dt
------ +
u
τ 2
---- -
+
0.
=
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