Exercices
149
Exercices de niveau 2
Exercice 11
1) a) Quand l’interrupteur est fermé, il circule le courant :
La tension aux bornes de la
résistance vaut :
La loi des mailles nous donne alors :
avec
b) – La solution particulière constante de l’équation différentielle est :
– La solution de l’équation homogène est :
– La solution générale de l’équation différentielle est donc :
avec
– La tension aux bornes du condensateur est continue, d’où :
soit :
La loi d’évolution de la tension u s’écrit donc :
avec
c) L’allure de la courbe est la suivante (cas
et cas
) :
Si la fém E du générateur est supérieure à la tension initiale U 0 du condensateur, celui-ci se charge ; si la fém E du
générateur est inférieure à la tension initiale U 0 du condensateur, celui-ci se décharge.
d) L’intensité
du courant est :
e) L’énergie dissipée par effet Joule au cours de la charge vaut :
Comme la loi d’évolution de l’intensité est exponentielle, le calcul direct est assez simple.
i
C
du
dt
------ .
=
u R
Ri
RC
du
dt
------ .
=
=
E
u RC
du
dt
-------,
+
=
τ
RC.
=
u 2
E.
=
u 1
Ae
t
τ
-– .
=
u
u 1 u 2
+
E Ae
t
τ
-– ,
+
=
=
τ
RC.
=
u t 0
=
(
)
U 0
E A,
+
=
=
A
U 0 E.
–
=
u t
( )
E U 0 E
–
(
)e
t
t
-– ,
+
=
t
RC.
=
U 0 E
Ͻ
U 0 E
Ͼ
u
U 0
0
t
E
u
U 0
0
t
E
τ
τ
i t
( )
i t
( )
C
du
dt
-----C
U 0 E
–
τ
-----------------e
t
τ
-–
–
E U 0
–
R
----------------- e
t
t
-– .
=
=
=
Ᏹ J
ᏼ J dt
t =0
t → + ∞
∫
R i t
( ) 2 d t
0
+ ∞
∫
E U 0
–
(
) 2
R
------------------------ - e
2 t
τ
---- -
– d t
0
+ ∞
∫
τ
2
-- -
–
E U 0
–
(
) 2
R
------------------------ - e
2 t
τ
---- -
–
0
+ ∞
=
=
=
=
1
2
-- -C E U 0
–
(
) 2 .
=
KA_MPSI.book Page 149 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23