Chapitre 4 : Régimes transitoires
148
Exercice 10
Le montage est identique à celui des exercices 8 et 9. Pour un raisonnement complet, se reporter à la question a)
et au début de la question b) de l’exercice 8.
• En régime apériodique, le discriminant ∆ du polynôme caractéristique est positif. Celui-ci admet
donc deux racines réelles :
et
Les racines du polynôme caractéristique s’écrivent :
où λ est le facteur d’amortissement du circuit
et
La solution générale de l’équation différentielle est de la forme :
On détermine les constantes A et B grâce aux conditions initiales :
La loi d’évolution de la tension u est :
• La tension aux bornes de la résistance R ″ a pour expression :
La tension est maximale lorsque la dérivée de
s’annule, c’est-à-dire à l’instant t 0 tel que :
En posant :
et
l’équation à résoudre devient :
d’où en introduisant les fonctions hyperboliques :
soit :
Les fonctions hyperboliques sont définies par :
;
;
La résolution numérique de cette équation en ω donne :
Graphiquement, on détermine l’abscisse du point d’intersection des courbes (avec X = 10
–3
ω ) :
et
La résistance
s’obtient alors par la relation :
soit :
r 1
R″
2L
------–
R″ 2
4L 2
--------- -
1
LC
-------–
+
=
r 2
R″
2L
------–
R″ 2
4L 2
--------- -
1
LC
-------–
.
–
=
r
λ
–
ω ,
±
=
ω
λ 2 ω 2
0
–
.
=
u t
( )
Ae
r 1 t
Be
r 2 t .
+
=
u 0
( )
U 0 A B
+
⇒
U 0
=
=
du
dt
------ 0
( )
i 0
( )
C
--------- -
–
0 Ar 1 Br 2
+
⇒
0
=
=
=
A
r 2
r 2 r 1
–
-------------- -U 0
=
B
r 1
r 2 r 1
–
-------------- -U 0
–
=
⇒
u t
( )
U 0
r 2 r 1
–
-------------- - r 2 e
r 1 t r 1 e
r 2 t
–
(
) .
=
u R″
R″i
R″C
du
dt
-----–
R″CU 0 r 1 r 2
r 2 r 1
–
----------------------------- - e
r 2 t e
r 1 t
–
(
) .
=
=
=
u R″
r 2 e
r 2 t 0 r 1 e
r 1 t 0
–
0.
=
r 1
– λ ω
+
=
r 2
– λ ω,
–
=
λ ω
+
(
)e
ωt 0
–
–
λ ω
–
(
)e
ωt 0
+
0,
=
2λsh ωt 0
(
) 2ωch ωt 0
(
)
–
0,
=
th ωt 0
(
)
ω
λ
--- -
1
1
ω 0
2
ω 2
-----+
-------------------- .
=
=
sh x
( )
e x e x
–
–
2
-----------------=
ch x
( )
e x e x
–
+
2
-----------------=
th x
( )
sh x
( )
ch x
( )
-------------.
=
ω
4 027 rad · s 1
– .
=
Y 1 th 0,36X
(
)
=
Y 2
1
1
4
X 2
---- -
–
------------------ .
=
R″
λ
R″
2L
------ω 2 ω 0
2
+ ,
=
=
R≤
2L w 2 w 0
2
+
225 W .
=
=
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148
Exercice 10
Le montage est identique à celui des exercices 8 et 9. Pour un raisonnement complet, se reporter à la question a)
et au début de la question b) de l’exercice 8.
• En régime apériodique, le discriminant ∆ du polynôme caractéristique est positif. Celui-ci admet
donc deux racines réelles :
et
Les racines du polynôme caractéristique s’écrivent :
où λ est le facteur d’amortissement du circuit
et
La solution générale de l’équation différentielle est de la forme :
On détermine les constantes A et B grâce aux conditions initiales :
La loi d’évolution de la tension u est :
• La tension aux bornes de la résistance R ″ a pour expression :
La tension est maximale lorsque la dérivée de
s’annule, c’est-à-dire à l’instant t 0 tel que :
En posant :
et
l’équation à résoudre devient :
d’où en introduisant les fonctions hyperboliques :
soit :
Les fonctions hyperboliques sont définies par :
;
;
La résolution numérique de cette équation en ω donne :
Graphiquement, on détermine l’abscisse du point d’intersection des courbes (avec X = 10
–3
ω ) :
et
La résistance
s’obtient alors par la relation :
soit :
r 1
R″
2L
------–
R″ 2
4L 2
--------- -
1
LC
-------–
+
=
r 2
R″
2L
------–
R″ 2
4L 2
--------- -
1
LC
-------–
.
–
=
r
λ
–
ω ,
±
=
ω
λ 2 ω 2
0
–
.
=
u t
( )
Ae
r 1 t
Be
r 2 t .
+
=
u 0
( )
U 0 A B
+
⇒
U 0
=
=
du
dt
------ 0
( )
i 0
( )
C
--------- -
–
0 Ar 1 Br 2
+
⇒
0
=
=
=
A
r 2
r 2 r 1
–
-------------- -U 0
=
B
r 1
r 2 r 1
–
-------------- -U 0
–
=
⇒
u t
( )
U 0
r 2 r 1
–
-------------- - r 2 e
r 1 t r 1 e
r 2 t
–
(
) .
=
u R″
R″i
R″C
du
dt
-----–
R″CU 0 r 1 r 2
r 2 r 1
–
----------------------------- - e
r 2 t e
r 1 t
–
(
) .
=
=
=
u R″
r 2 e
r 2 t 0 r 1 e
r 1 t 0
–
0.
=
r 1
– λ ω
+
=
r 2
– λ ω,
–
=
λ ω
+
(
)e
ωt 0
–
–
λ ω
–
(
)e
ωt 0
+
0,
=
2λsh ωt 0
(
) 2ωch ωt 0
(
)
–
0,
=
th ωt 0
(
)
ω
λ
--- -
1
1
ω 0
2
ω 2
-----+
-------------------- .
=
=
sh x
( )
e x e x
–
–
2
-----------------=
ch x
( )
e x e x
–
+
2
-----------------=
th x
( )
sh x
( )
ch x
( )
-------------.
=
ω
4 027 rad · s 1
– .
=
Y 1 th 0,36X
(
)
=
Y 2
1
1
4
X 2
---- -
–
------------------ .
=
R″
λ
R″
2L
------ω 2 ω 0
2
+ ,
=
=
R≤
2L w 2 w 0
2
+
225 W .
=
=
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