Exercices
147
D’après la relation entre i et u,
Le maximum de i est donc point d’inflexion pour u.
d) L’énergie électrostatique initialement emmagasinée dans le condensateur est entièrement dissipée
par effet Joule dans la résistance :
L’énergie magnétique emmagasinée dans la bobine est nulle au début et à la fin de la décharge du condensateur
(
et
).
Exercice 9
a)
Pour un raisonnement complet, se reporter à la question a) et au début de la question b) de l’exercice 8.
En régime pseudo-périodique, le discriminant ∆ du polynôme caractéristique est négatif. Celui-ci
admet donc deux racines complexes conjuguées :
La pseudo-pulsation ω du circuit vaut alors :
d’où :
A.N.
Les racines du polynôme caractéristique s’écrivent :
où λ est le facteur d’amortissement du circuit
et ω sa pseudo-pulsation.
b) La solution générale de l’équation différentielle est de la forme :
On détermine les constantes A et B grâce aux conditions initiales :
d’où :
Numériquement : A = 6 ; B = 7,43 ; ω = 1 257 rad · s
–1 .
La loi numérique d’évolution de la tension u est donc :
avec t en s et u en V.
di
dt
---- - 0
=
d 2 u
dt 2
------- -
⇔
0.
=
1
ω 0
-----i
t
O
U 0
Lω 0 e
------------- -
2
ω 0
-----Ᏹ J
1
2
-- -CU 0
2
180 m J .
=
=
i 0
( ) 0
=
i ∞
( )
0
=
r
R′C
–
j 4LC R ′ 2 C 2
–
±
2LC
------------------------------------------------------------------ -
R ′
2L
------–
j
1
LC
-------R ′ 2
4L 2
--------- -
–
.
±
=
=
ω
1
LC
-------R′ 2
4L 2
--------- -
–
2π
T
------,
=
=
R¢
2L
1
LC
-------4p 2
T 2
-------- -
–
.
=
R¢
77,8 W .
=
r λ
j ω ,
±
=
u t
( )
A
ωt
( ) B
ωt
( )
sin
+
cos
(
) e
R′
2L
------- t
–
.
=
u 0
( )
U 0 A
⇒
U 0
=
=
du
dt
------ 0
( )
i 0
( )
C
--------- -
–
0 ωB
R′
2L
-------A
–
⇒
0,
=
=
=





B
R′U 0
2Lω
------------- - .
=
u t
( )
6e 1 556 t
–
6
1 257 t
(
) 7,43
1 257 t
(
)
sin
+
cos
(
) ,
=
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