Chapitre 4 : Régimes transitoires
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L’équation différentielle du second ordre vérifiée par u est donc :
b)
On applique la méthode n° 1 au circuit étudié.
– Le polynôme caractéristique associé à l’équation différentielle est :
Le discriminant vaut ∆ = 0 (régime critique). On en déduit :
soit
Le polynôme caractéristique admet la racine double :
– La solution générale de l’équation différentielle est donc :
avec
On détermine les constantes A et B grâce aux conditions initiales :
d’où :
L’équation différentielle étant du second ordre, il faut deux conditions initiales pour déterminer les constantes
d’intégration.
– La loi d’évolution de la tension u est donc :
avec
L’allure de la courbe
est :
c) • La loi d’évolution de l’intensité i est :
soit :
En régime critique, l’intensité i croît au début de la décharge du condensateur, puis décroît jusqu’à
s’annuler. Le maximum de i est donné par :
soit :
LC
d 2 u
dt 2
--------- - RC
du
dt
------- u
+
+
0.
=
LCr 2 RCr 1
+
+
0.
=
∆
R 2 C 2 4LC
–
0,
=
=
R
2
L
C
---100 W .
=
=
r
R
2L
------–
1
LC
-----------–
ω 0 .
–
=
=
=
u t
( )
At B
+
(
)e
ω 0 t
–
,
=
ω 0
1
LC
------------ .
=
u 0
( ) U 0
=
B
⇒
U 0
=
du
dt
------ 0
( )
i 0
( )
C
--------- -
–
0 A ω 0 B
–
⇒
0,
=
=
=





A
U 0 ω 0 .
=
u t
( )
U 0 w 0 t 1
+
(
)e
w 0 t
–
,
=
ω 0
1
LC
------------ .
=
u t
( )
1
ω 0
-----u
t
0
U 0
i
C
du
dt
-----–
CU 0 ω 0
2 t e
ω 0 t
–
,
=
=
i t
( )
U 0
L
------ - te
w 0 t
–
.
=
di
dt
---- -
U 0
L
------ -e
ω 0 t
–
U 0
L
------ -ω 0 t e
ω 0 t
–
–
0,
=
=
t
1
ω 0
------ .
=
KA_MPSI.book Page 146 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23