Exercices
145
b) • La solution générale de l’équation différentielle s’écrit :
avec
Les conditions initiales à l’instant
sont :
L’équation différentielle étant du second ordre, il faut deux conditions initiales pour déterminer les constantes
d’intégration.
La loi d’évolution de la tension u est donc :
• La fréquence des oscillations du circuit LC est :
L’amplitude de la tension est : U 0 = 6 V.
On a l’égalité :
c) La loi d’évolution de l’intensité i du courant est :
L’amplitude de l’intensité est :
d) • L’énergie électrostatique emmagasinée dans le condensateur à l’instant t vaut :
• L’énergie magnétique emmagasinée dans la bobine à l’instant t vaut :
• L’énergie totale stockée dans le circuit à l’instant t vaut :
L’énergie totale stockée dans le circuit est égale à l’énergie initiale du condensateur. En l’absence de résistance,
cette énergie reste constante car il n’y a pas de perte par effet Joule.
Exercice 8
a) Les notations utilisées sont indiquées sur le schéma ci-contre. La loi des
mailles donne :
avec
Le condensateur C est étudié en convention générateur : il ne faut pas oublier le signe
« – » dans l’expression de i.
u t
( )
A
ω 0 t
(
)
cos
B
ω 0 t
(
),
sin
+
=
ω 0
1
LC
------------ .
=
t
0
=
u 0
( ) U 0
=
A
⇒
U 0
=
du
dt
------ 0
( )
i 0
( )
C
--------- -
–
0 B
⇒
0.
=
=
=





u t
( )
U 0
t
LC
------------ -



 .
cos
=
f 0
w 0
2p
-----1
2p LC
------------------- -
318 Hz .
=
=
=
f
1
T
-- -
2π
ω
----- -.
=
=
i t
( )
C
du
dt
------–
U 0
C
L
---w 0 t
(
)
sin
.
=
=
I 0
U 0
L
C
---20 mA .
=
=
Ᏹ elec
1
2
-- -Cu t
( ) 2
1
2
-- -CU 0
2
t
LC
------------ -



 .
cos 2
=
=
Ᏹ mag
1
2
-- -Li t
( ) 2
1
2
-- -CU 0
2
t
LC
------------ -




sin 2
.
=
=
Ᏹ tot
Ᏹ elec Ᏹ mag
+
1
2
-- -CU 0
2 .
=
=
i
u
L
R
C
u
L
di
dt
---- - Ri,
+
=
i
C
du
dt
------ .
–
=
KA_MPSI.book Page 145 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23