Exercices
143
Exercice 4
Notons R la résistance du voltmètre et C la capacité du condensateur. La tension aux bornes du
condensateur évolue suivant la loi
avec
(décharge d’un condensateur dans
une résistance).
Nous en tirons :
d’où :
Cette relation est valable quel que soit l’instant t considéré.
A.N.
Exercice 5
a) La loi des mailles donne l’équation différentielle vérifiée par l’intensité i du courant :
soit :
Lors de l’établissement du courant dans la bobine, l’intensité i suit la loi d’évolution :
avec
La tension aux bornes de la résistance R a pour expression :
On en déduit la valeur de l’inductance L :
d’où :
Cette relation est valable quel que soit l’instant t considéré.
b) L’énergie magnétique stockée dans la bobine à l’instant t vaut :
Comme l’énoncé indique la valeur de u R pour t = 2 ms, il est plus rapide d’utiliser cette donnée que l’expression de
i trouvée à la question précédente.
A.N.
c)
On applique la méthode n° 3 au circuit étudié. Le calcul direct de l’énergie dissipée par effet Joule est plus long.
L’énergie fournie par le générateur entre l’instant t = 0 et l’instant t vaut :
A.N.
u t
( )
U 0 e
t
τ
-– ,
=
τ
RC
=
t
RC
-------- -
U 0
u t
( )
--------- -
,
ln
=
R
t
C
U 0
u t
( )
--------- -
ln
-------------------------- .
=
R
200
47 10 6
–
4,5
3
------- -
ln
×
⋅
------------------------------------------------ -
1,05 10 7 Ω
⋅
10,5 M Ω .
=
=
=
L
di
dt
---- - Ri
+
E,
=
L
R
--- -
di
dt
---- - i
+
E
R
--- - .
=
i t
( )
E
R
--- - 1 e
t
τ
-–
–
,
=
τ
L
R
--- - .
=
u R
Ri
E 1 e
t
τ
-–
–
E 1 e
Rt
L
----- -
–
–
.
=
=
=
Rt
L
----- -
1
u R
E
----- -
–
,
ln
–
=
L
Rt
1
u R
E
------ -
–
ln
---------------------------–
50 mH .
=
=
Ᏹ mag
1
2
-- -Li t
( ) 2
L
2R 2
----------u R t
( ) 2 .
=
=
Ᏹ mag
50 10 3
–
⋅
2,7 2
×
2 15 2
×
--------------------------------------0,81 mJ .
=
=
Ᏹ g
Ei t
( )dt
0
t
∫
E 2
R
-----1 e
Rt
L
----- -
–
–
dt
0
t
∫
E 2
R
------ t
L
R
--- -e
Rt
L
----- -
–
+
0
t
E 2
R
------ t
L
R
--- - e
Rt
L
----- -
–
1
–
+
.
=
=
=
=
Ᏹ g 1,19 mJ
=
.
KA_MPSI.book Page 143 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23
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Exercice 4
Notons R la résistance du voltmètre et C la capacité du condensateur. La tension aux bornes du
condensateur évolue suivant la loi
avec
(décharge d’un condensateur dans
une résistance).
Nous en tirons :
d’où :
Cette relation est valable quel que soit l’instant t considéré.
A.N.
Exercice 5
a) La loi des mailles donne l’équation différentielle vérifiée par l’intensité i du courant :
soit :
Lors de l’établissement du courant dans la bobine, l’intensité i suit la loi d’évolution :
avec
La tension aux bornes de la résistance R a pour expression :
On en déduit la valeur de l’inductance L :
d’où :
Cette relation est valable quel que soit l’instant t considéré.
b) L’énergie magnétique stockée dans la bobine à l’instant t vaut :
Comme l’énoncé indique la valeur de u R pour t = 2 ms, il est plus rapide d’utiliser cette donnée que l’expression de
i trouvée à la question précédente.
A.N.
c)
On applique la méthode n° 3 au circuit étudié. Le calcul direct de l’énergie dissipée par effet Joule est plus long.
L’énergie fournie par le générateur entre l’instant t = 0 et l’instant t vaut :
A.N.
u t
( )
U 0 e
t
τ
-– ,
=
τ
RC
=
t
RC
-------- -
U 0
u t
( )
--------- -
,
ln
=
R
t
C
U 0
u t
( )
--------- -
ln
-------------------------- .
=
R
200
47 10 6
–
4,5
3
------- -
ln
×
⋅
------------------------------------------------ -
1,05 10 7 Ω
⋅
10,5 M Ω .
=
=
=
L
di
dt
---- - Ri
+
E,
=
L
R
--- -
di
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---- - i
+
E
R
--- - .
=
i t
( )
E
R
--- - 1 e
t
τ
-–
–
,
=
τ
L
R
--- - .
=
u R
Ri
E 1 e
t
τ
-–
–
E 1 e
Rt
L
----- -
–
–
.
=
=
=
Rt
L
----- -
1
u R
E
----- -
–
,
ln
–
=
L
Rt
1
u R
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------ -
–
ln
---------------------------–
50 mH .
=
=
Ᏹ mag
1
2
-- -Li t
( ) 2
L
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----------u R t
( ) 2 .
=
=
Ᏹ mag
50 10 3
–
⋅
2,7 2
×
2 15 2
×
--------------------------------------0,81 mJ .
=
=
Ᏹ g
Ei t
( )dt
0
t
∫
E 2
R
-----1 e
Rt
L
----- -
–
–
dt
0
t
∫
E 2
R
------ t
L
R
--- -e
Rt
L
----- -
–
+
0
t
E 2
R
------ t
L
R
--- - e
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L
----- -
–
1
–
+
.
=
=
=
=
Ᏹ g 1,19 mJ
=
.
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