Exercices
141
• La loi des nœuds donne :
avec
Le circuit comporte deux mailles indépendantes pour lesquelles on peut écrire :
Reportons alors i 2 dans l’égalité obtenue pour la maille 1 :
L’équation différentielle vérifiée par la tension u s’écrit donc :
ou sous sa forme « canonique » :
La constante de temps est
et la solution particulière constante vaut
La constante de temps τ n’apparaît que si l’équation est écrite sous sa forme canonique, c’est-à-dire si le coefficient de u est égal à 1.
Compte tenu des conditions initiales
nous obtenons :
avec
La tension maximale est obtenue pour
:
• En régime permanent, nous avons
d’où :
et
La tension u max vaut :
avec
d’où :
En régime permanent, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert.
b) L’étude correspond à la décharge d’un condensateur initialement chargé sous la tension u max à travers une résistance R = R 1 + R 2 .
La constante de temps vaut
et nous avons alors :
avec
Pour plus de détails se reporter au § A. 2 du cours (décharge du condensateur).
i 1 i 2
+
i 3 ,
=
i 1
C
du
dt
------ .
=
maille 1 : E
R 2 i 2 R 3 i 3
+
R 2 R 3
+
(
) i 2 R 3 C
d u
d t
-----+
=
=
maille 2 : R 2 i 2
R 1 i 1 u
+
R 1 C
d u
d t
------ u .
+
=
=





E
R 2 R 3
+
(
)R 1
R 2
------------------------------- - R 3
+
C
du
dt
-----R 2 R 3
+
R 2
------------------- -u
+
R 1 R 3
R 3 R 1
R 2
------------- -
+
+
C
du
dt
-----R 2 R 3
+
R 2
------------------- -u.
+
=
=
R 1 R 3
+
(
)R 2 R 3 R 1
+
R 2 R 3
+
----------------------------------------------------C
du
dt
------ u
+
R 2
R 2 R 3
+
------------------- -E,
=
R 1 R 2 R 1 R 3 R 2 R 3
+
+
R 2 R 3
+
------------------------------------------------------ - C
du
dt
------ u
+
R 2
R 2 R 3
+
------------------- -E.
=
τ
R 1 R 2 R 1 R 3 R 2 R 3
+
+
R 2 R 3
+
------------------------------------------------------ -C
=
u 2
R 2
R 2 R 3
+
------------------- -E.
=
u 0
( ) 0
=
(
) ,
u t
( )
R 2
R 2 R 3
+
------------------- -E 1 e
t
t
-–
–



 ,
=
t
R 1 R 2 R
+ 1 R 3 R 2 R 3
+
R 2 R 3
+
------------------------------------------------------- -C.
=
t → + ∞ u max
R 2
R 2 R 3
+
------------------- - E.
=
u
u max
cte,
=
=
i 1
0
=
i 2
i 3 .
=
u max
R 2 i 2
=
i 2
E
R 2 R 3
+
------------------- -,
=
u max
R 2
R 2 R 3
+
------------------- -E.
=
τ′
R 1 R 2
+
(
)C
=
u t
( )
u max e
t
τ′
--- -
–
R 2
R 2 R 3
+
------------------- -Ee
t
t′
--- -
– ,
=
=
t¢
R 1 R 2
+
(
)C.
=
KA_MPSI.book Page 141 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23